Partialbruchzerlegung mit Koeffizientenvergleich

Question

Aufgabe:

\( f(x)=\frac{6 x^{2}+3 x-51}{x^{3}+4 x^{2}-7 x-10}=\frac{6 x^{2}+3 x-51}{(x+1) \cdot(x-2) \cdot(x+5)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+5} \)

\( A \cdot(x-2) \cdot(x+5)+B \cdot(x+1) \cdot(x+5)+C \cdot(x+1) \cdot(x-2)=6 x^{2}+3 x-51 \)

\( (A+B+C) x^{2}+(3 A+6 B-C) x+(-10 A+5 B-2 C)=6 x^{2}+3 x-51 \)

Koeffizientenvergleich:

\( \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}A+B+C=6 \\ 3 A+6 B-C=3 \\ -10 A+5 B-2 C=-51\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}A=4 \\ B=-1 \\ C=3\end{array}\right.\right. \)

\( \Rightarrow f(x)=\frac{6 x^{2}+3 x-51}{x^{3}+4 x^{2}-7 x-10}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+5}=\frac{4}{x+1}-\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x+5} \)

Problem bei dieser Musterlösung:

Wie kommt die 2. und 3. Zeile (von Oben) zustande? Also quasi die Vorbereitung für den Koeffizientenvergleich. Durch faktorisieren oder ordnen oder was auch immer?

Answer 1

(6·x^2 + 3·x - 51)/((x + 1)·(x - 2)·(x + 5)) = a/(x + 1) + b/(x - 2) + c/(x + 5)

Multipliziere die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner (x + 1)·(x - 2)·(x + 5)

Dann kommst du direkt auf die 2. Zeile

Multipliziere dann aus und Klammer die x-Terme aus. Dann erhältst du die 3. Zeile.