Gleiche Polynome, gleiche Koeffizienten

Question

ich stehe ein wenig auf dem Schlauch, im Laufe einer Partialbruchzerlegung, bin ich an einen Punkt gestoßen, der mir unschlüssig ist.

Die Ausgangsfunktion lautete:

$$ F(s)=\frac{1}{s\left(s^{2}+4\right)} $$

Da ich mit den Nullstellen nicht auf das gewünschte Ergebnis gekommen bin, hab ich mit "Photomath" mal nachgeschaut.

an diesem Punkt hab ich die Erklärung jedoch nicht mehr verstanden..

$$ 1=(A+C) s^{3}+(B+D) s^{2}+(A-C) s+(B-D) $$

-> "Wenn zwei Polynome gleich sind, dann müssen auch die entsprechenden Koeffizienten gleich sein."

Daraus folgte:

$$ \begin{array}{ll}{A-C=0} & {B-D=1} \\ {A+C=0} & {B+D=0}\end{array} $$

Die Frage ist nun, wie leite ich aus der zusammenhängenden Gleichung, diese 4 einzel Gleichungen ab und warum bekommt B - D = 1 die 1?

NiggoH

Comments

Die Frage ist nun, wie leite ich aus der zusammenhängenden Gleichung, diese 4 einzel Gleichungen ab und warum bekommt B - D = 1 die 1?

$$ 1=(A+C) s^{3}+(B+D) s^{2}+(A-C) s+(B-D) $$

Beachte:

$$ 1 = 0\cdot s^3 + 0 \cdot s^2 + 0 \cdot s + 1$$

Du hast also zwei Polynome die gleich sind:

"Wenn zwei Polynome gleich sind, dann müssen auch die entsprechenden Koeffizienten gleich sein."

Also schau dir z.B. mal die Koeffizienten von \( s^3 \) an => A+C=0

...

Die Absolutglieder der Polynome => B-D=1

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Danke für die Antwort, nun hab ich’s verstanden.

Answer 1

Ansatz für die PBZ:

1/(s(s^2+4)) =A/s +(Bs +C)/(s^2+4) | *Hauptnenner

1= A(s^2+4) +(Bs+C)s

usw