Beispiel:
Man gebe die Partialbruchzerlegung für den Polynombruch
\( y=\frac{x^{2}-6 x+3}{x^{3}-15 x^{2}+75 x-125} \)
an.
Lösung:
Das Nennerpolynom hat bei \( x=5 \) eine dreifache Nullstelle \( x_{1}=x_{2}=x_{3}=5 \), da man es als dritte Potenz von \( x-5 \) schreiben kann:
\( x^{3}-15 x^{2}+75 x-125=(x-5)^{3} \)
Damit lautet der unbestimmte Ansatz für die Partialbruchzerlegung:
\( \frac{x^{2}-6 x+3}{(x-5)^{3}}=\frac{A_{1}}{x-5}+\frac{A_{2}}{(x-5)^{2}}+\frac{A_{3}}{(x-5)^{3}} \)
Die Multiplikation beider Seiten mit dem Nenner der linken Seite führt auf
\( x^{2}-6 x+3=A_{1}(x-5)^{2}+A_{2}(x-5)+A_{3} \)
Zur Bestimmung von \( A_{1}, A_{2} \) und \( A_{3} \) kann wieder einer der beiden Wege (I) oder (II) eingeschlagen werden:
Einsetzen bestimmter x-Werte. Mit x = 5 erhält man zunächst \( A_{3}=-2 . \) Die übrigen x-Werte wird man zweckmäßigerweise so wählen, dass die Faktoren rechts klein bleiben:
\( \begin{aligned} \textcolor{#F00}{x=6}: & 3=A_{1}+A_{2}-2 \\ \textcolor{#F00}{x=4}: &-5=A_{1}-A_{2}-2 \end{aligned} \)
Aus diesen beiden Gleichungen berechnet man \( A_{1}=1 \) und \( A_{2}=4 \).
Ansatz/Problem:
Das, was ich nicht verstehe, habe ich rot markiert.
1) Woher kommen x = 6, x=4?
2) Beispiel:
\( \frac{x-5}{(x-3)^{2}}=\frac{A_{1}}{x-3}+\frac{A_{2}}{(x-3)^{2}} \)
\( x-5=A_{1}(x-3)+A_{2} \)
Einsetzungsverfahren:
\( x=3 \rightarrow 3-5=A_{2}=-2 \)
Wie mache ich das für \( A_{1} ? \) Geht das ohne Koeffizientenvergleich?
