Def: f: V×V→ℝ, ((x1,y1), (x2,y2)) → 3x1y2 + 5x2y1. Zeigen dass f Bilinearform und Gram-Matrix berechnen

Question

Gegeben sei der Vektorraum V = ℝ^2. Weiter definieren wir

                                                              f : V × V → ℝ

wie folgt

                                             ((x1, y1), (x2, y2)) → 3x1y2 + 5x2y1

für(x1,y1),(x2,y2).

i)  Zeigen Sie, dass f eine Bilinearform ist.
ii) Berechnen Sie die Gram-Matrix von f bezüglich B = {(1,2),(3,4)}.

------- ich weiss nicht, wie man bilinearform zeigt, und auch nicht wie man die gram-martrix berechnet  #help

Answer 1

Bei der Gram Matrix kann ich dir leider nicht weiterhelfen. Bei der Bilinearform jedoch schon.

Was sagt denn Bilinearität aus?

Nach Definition: 1. <ax+bx',y>= a<x.y> + b<x',y>

                              2. <x,ay+by'>= a<x.y> + b<x,y'>

Gut was heißt das denn? Dass bedeutet wenn wir uns ein weiteres Tupel von Koordinaten nehmen

zum Beispiel (x3,y3) dann soll  <a(x1,y1)+b(x3,y3),(x2,y2)> bitte gleich a<(x1,y1), (x2,y2)> + b<(x1,y1), (x3,y3)> sein.

Wie die Bilinearform definiert ist steht ja da, also setzt das einfach mal ein und überprüfe die Gleichheit.

Die andere Bedingung verläuft natürlich analog. :)

Eigentlich ist das also nur stumpfes Einsetzen ;) Hoffentlich hilft dir das ein wenig weiter.

Liebe Grüße

Comments

achso, dann versuche ich das mal, danke für die Erklärung.

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Sag mal Bescheid, ob da was richtiges bei rauskommt :)

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ich glaube ich hab es doch nicht so klar.. also ich muss in meinem fall zuerst die 3x1y2 + 5x2y1 statt x' einsetzen ?
aber wie soll ich das genau rechnen ? das ist nicht wirklich eine richtige Gleichung, also hier hat man <  >
wie soll ich das rechnen ? (sorry wenn meine fragen extra dumm sind )

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du musst von der gegebenen Antwort  "zum Beispiel (x3,y3) dann soll  <a(x1,y1)+b(x3,y3),(x2,y2)> bitte gleich a<(x1,y1), (x2,y2)> + b<(x1,y1), (x3,y3)> sein."  hinreichend stark abweichen

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hj21, dass du die Antwort wiederholst, hilft mir leider nicht ...

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Staylen, ich habe das jetzt hinbekommen, vielen dank nochmal :)

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Ist doch super :) gib mir dann ruhig einen Daumen ;)