Verteilungsfunktion: Rhesusfaktor Südseeinsel

Question

Folgende biomathematische Aufgabe ist gegeben:

Auf einer Südseeinsel haben \( 1 / 3 \) der Menschen den Rhesusfaktor , negativ". Aus der Inselbevölkerung werden zufällig 5 Personen ausgewählt. Welche Verteilungsfunktion liegt hier vor? Geben Sie die zugehörigen Verteilungsparameter an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ...

(a) ..., dass genau eine Person mit dem Rhesusfaktor , positiv" ausgestattet ist?

(b) ..., dass genau zwei Personen den Rhesusfaktor ,negativ" besitzen?

(c) ... mindestens 2 Personen ausgewählt zu haben, die mit Rhesusfaktor, positiv" ausgestattet sind?

Schreiben Sie die jeweiligen Ergebnisse als möglichst weit vereinfachten Bruch.

Meine Lösungsansätze:

Es gibt folgende Verteilungen:

Diskrete Verteilungen:
+ Binomialverteilung
+ Poisson-Verteilung

Stetige Verteilungen:
+ Normalverteilung
+ Exponentialverteilung
+ Gleichverteilung
+ Chi-Quadrat-Verteilung (Χ²)
+ Tau-Verteilung (τ)

Ich würde die Gleichverteilung verwenden. Die anderen geben keinen Sinn bis auf die Binomialverteilung, aber ich denke dass diese Verteilung für diese Aufgabe nicht gefragt ist.

1/3 Rh-
5 Personen

2/3 Rh+

Ergebnisse in Bruchdarstellung

P_Rh+(X=1)=2/3...
P_Rh-(X=2)=
P_Rh+(X≥2)=

Bevor ich anfange zu rechnen: Habe ich mich richtig festgelegt oder muss man doch eine andere Verteilung verwenden?

Answer 1

warum nimmst du die Gleichverteilung ? Bei der Gleichverteilung geht es nur um ein Zufallsexperiment. Wenn ich 5 Personen auswähle habe ich 5 Zufallsversuche und damit in diesem Fall eine Binomialverteilung.

Es würde noch in Betracht kommen die Hypergeometrische Verteilung. Die aber nur wenn man aus einer Begrenzten Menge zieht und sich die Trefferwahrscheinlichkeit von Zug zu Zug ändert.

Also hier würde ich ganz klar die Binomialverteilung nehmen.

Comments

Also doch die Binomialverteilung:

1/3 Rh- 
5 Personen 

2/3 Rh+ 

Ergebnisse in Bruchdarstellung 

P_Rh+(X=0)=(5 über 0)*2/3²*1/3²=1*4/9*1/9=4/81
P_Rh+(X=1)=(5 über 1)*2/3²*1/3²=5*4/9*1/9=5*4/81=20/81
P_Rh-(X=2)= (5 über 2)*1/3²*2/3²=10*1/9*4/9=10*4/81=40/81
P_Rh+(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-4/81-20/81=19/27

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Auf einer Südseeinsel haben 1/3 der Menschen den Rhesusfaktor "negativ". Aus der Inselbevölkerung werden zufällig 5 Personen ausgewählt. Welche Verteilungsfunktion liegt hier vor? Geben Sie die zugehörigen Verteilungsparameter an.

Binomialverteilung mit n = 5, p = 1/3

P(X = k) = COMB(5, k)·(1/3)^{k}·(2/3)^{5 - k}

P(X = 0) = 32/243

P(X = 1) = 80/243

P(X = 2) = 80/243

P(X = 3) = 40/243

P(X = 4) = 10/243

P(X = 5) = 1/243

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

a) genau eine Person mit dem Rhesusfaktor "positiv" ausgestattet ist?

P(X = 4) = 10/243

b) genau zwei Personen den Rhesusfaktor "negativ" besitzen?

P(X = 2) = 80/243

c) mindestens 2 Personen ausgewählt werden, die mit Rhesusfaktor "positiv" ausgestattet sind?

1 - P(X = 4) - P(X = 5) = 232/243

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P(X = k) = COMB(5, k)·(1/3)^{k}·(2/3)^{5 - k}

Stimmt. Man muss beachten, dass 2/3*(5-k) gerechnet werden muss. Wenn man n gegeben hat, hier 5, dann geht k ebenfalls bis n, hier 5 und dann muss die Wahrscheinlichkeit p, hier 1/3 und die Gegenwahrscheinlichkeit q, hier 2/3 ermittelt werden. Dann steht im Exponent über p nur k und über q n-k.

Gut, jetzt weiß ich Bescheid ich muss mir einfach die Formel einprägen und sollte eine weitere Binomialverteilung gegeben sein, dann muss es nächstes Mal klappen.