Aufgabe:
Es sei \( (X, Y) \) auf dem Dreieck \( \Delta=\{(x, y): 0<x, y<1, x+y<1\} \) gleichverteilt.
(i) Bestimmen Sie die gemeinsame Dichte von \( X, Y \).
(ii) Bestimmen Sie die marginalen Dichten \( f_{X} \) und \( f_{Y} \).
(iii) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion sowie die Dichte von \( Y / X \).
(iv) Bestimmen Sie die gemeinsame Dichte von \( X \) und \( Y / X \) und daraus erneut die marginale Dichte von \( Y / X \).
Problem/Ansatz:
Hallo zusammen, ich hake etwas bei dieser Aufgabe. Bei i) habe ich die gemeinsame Dichte f_{X,Y}(x,y)= 2, für (x,y) \in \Delta, 0 sonst. Für die marginalen Dichten gilt f_{X}(x)=2(1-x) 1_{(0,1)} (x) und f_{Y}(y)=2(1-y) 1_{(0,1)} (y) (wobei die jeweils zweite "1" in den marginalen Dichten die Indikatorfunktion bezeichnen soll.
Nun habe ich bei iii) folgenden Ansatz für die Verteilungsfunktion: P(Y/X \leq t)= P(Y \leq tX)= P((x,y) \in D_{t}) mit D_{t}= (x,y) \in R^2 | y \leq tx}. Ein ähnliches Beispiel mit einer Gleichverteilung auf [0,1]^2 wurde in der Vorlesung behandelt. Nun bin ich mir aber nicht sicher, wie ich weiter vorgehen kann bzw. ob vielleicht eine Fallunterscheidung von Nöten ist. Ich stehe auf dem Schlauch.
Ich bedanke mich im Voraus für jegliche Hilfe!
