Verteilungsfunktion und marginale Dichten

Question

Aufgabe:

Es sei \( (X, Y) \) auf dem Dreieck \( \Delta=\{(x, y): 0<x, y<1, x+y<1\} \) gleichverteilt.

(i) Bestimmen Sie die gemeinsame Dichte von \( X, Y \).

(ii) Bestimmen Sie die marginalen Dichten \( f_{X} \) und \( f_{Y} \).

(iii) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion sowie die Dichte von \( Y / X \).

(iv) Bestimmen Sie die gemeinsame Dichte von \( X \) und \( Y / X \) und daraus erneut die marginale Dichte von \( Y / X \).

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich hake etwas bei dieser Aufgabe. Bei i) habe ich die gemeinsame Dichte f_X,Y(x,y)= 2, für (x,y) \in \Delta, 0 sonst. Für die marginalen Dichten gilt f_X(x)=2(1-x) 1_(0,1) (x) und f_Y(y)=2(1-y) 1_(0,1) (y) (wobei die jeweils zweite "1" in den marginalen Dichten die Indikatorfunktion bezeichnen soll.

Nun habe ich bei iii) folgenden Ansatz für die Verteilungsfunktion: P(Y/X \leq t)= P(Y \leq tX)= P((x,y) \in D_t) mit D_t= (x,y) \in R² | y \leq tx}. Ein ähnliches Beispiel mit einer Gleichverteilung auf [0,1]² wurde in der Vorlesung behandelt. Nun bin ich mir aber nicht sicher, wie ich weiter vorgehen kann bzw. ob vielleicht eine Fallunterscheidung von Nöten ist. Ich stehe auf dem Schlauch.

Ich bedanke mich im Voraus für jegliche Hilfe!

Answer 1

Hallo gaussian123,

(i) und (ii) sind korrekt.

Für (iii) muss man den Transformationssatz bemühen. Wir führen die Transformation \(U=X,\quad V=\frac{Y}{X}\quad\Longrightarrow\quad Y=U\cdot V\) ein. Aus \(0<X<1\) und \(0<Y<1-X\) folgt \(0<U<1,\quad 0<U\cdot V<1-U\). Daraus ergibt sich die Bedingung:
$$ 0<V<\frac{1-U}{U}=\frac{1}{U}-1. $$Die Jacobi-Determinante für \((U,V)\mapsto(X,Y)\) ist:

$$ \begin{vmatrix} \frac{\partial X}{\partial U} & \frac{\partial X}{\partial V}\\ \frac{\partial Y}{\partial U} & \frac{\partial Y}{\partial V} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1&0\\ V&U \end{vmatrix}=U. $$

Da \((X,Y)\) auf \(\Delta\) eine konstante Dichte hat (nämlich konstant \(2\)), gilt:$$ f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(u,u\cdot v)\cdot u=2\cdot u,$$ für \(0<u<1\) und \(0<v<\frac{1}{u}-1\). Andernfalls ist \(f_{U,V}(u,v)=0\).

Um die Dichte von \(Z=V\) zu bestimmen, integrieren wir über \(u\):$$f_Z(z)=\int_0^{\frac{1}{1+z}}2\cdot u\,du.$$ Das Integral berechnet sich zu:$$f_Z(z)=2\cdot\left[\frac{u^2}{2}\right]_0^{\frac{1}{1+z}}=\frac{1}{(1+z)^2},\quad z>0. $$ Man erhält \(F_Z\) durch Integration:$$F_Z(z)=\int_0^z\frac{1}{(1+t)^2}\,dt=\left[-\frac{1}{1+t}\right]_0^z=1-\frac{1}{1+z},\quad z>0.$$

Zu (iv): Hier wieder den Trafo-Satz anwenden ...