Es sei φ (kleines Phi) die Dichte und Φ (großes Phi) die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung.

Question

Hallo zusammen,

ich versuche gerade diese Aufgabe zu bearbeiten:

Es sei φ (kleines Phi) die Dichte und Φ (großes Phi) die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung. Beweisen Sie für alle a>0 die Abschätzungen:

$${\frac{a}{1+a^{2}}\text{φ(a)}}\leq{1-Φ(a)}\leq{\frac{1}{a}φ(a)}$$

Hinweis:

i) $$\int \limits_{a}^{\infty}φ(x)dx\leq{\int \limits_{a}^{\infty}\frac{x}{a}φ(x)}$$

ii) $$\int \limits_{a}^{\infty}(1+\frac{1}{x^{2}})φ(x)dx\leq{\int \limits_{a}^{\infty}(1+\frac{1}{a^{2}})φ(x)dx}$$

Ich möchte keine Lösung für die Aufgabe, ich möchte gerne einen Tipp erhalten, da ich gar nicht weiß, was ich machen soll.

Zuerst wollte ich den Hinweis nachrechnen, aber das ist ziemlich schwer. Außerdem hatten wir das auch in der Vorlesung.

Die Dichte ist:

$$\int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2π}}e^\frac{-x^{2}}{2}dx=1$$

Die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung lautet:

$$Φ(a) =\int \limits_{-\infty}^{a}\frac{1}{\sqrt{2π}}e^\frac{-x^{2}}{2}dx$$

Ich weiß, dass

$$1-Φ(a)=Φ(-a)$$ gilt. Wenn jemand einen Tipp hat, dann würde ich mich freuen:)

Comments

Die obere Abschätzung lässt sich direkt mit dem Hinweis (i) nachrechnen. Dazu würde ich von

$$1-\Phi(a)=\int_a^{\infty} \phi$$ ausgehen

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Danke für den Tipp. Ich setze mich mal direkt ran. Ich habe auch etwas herausgefunden:

$$1-\frac{1}{a^{2}}\leq{\int \limits_{-a}^{a}φ(x)dx}\leq1$$ (nach Vorlesung). Wir haben also die Ungleichheit der Gleichung. Wir multiplizieren mit a (Beachte den Term ganz rechts) und dann haben wir:

$${\frac{a^{2}}{1+a^{2}}\text{φ(a)}}\leq(a({1-Φ(a)))}\leq{φ(a)}$$

Wir formen um:

$$\frac{a^{2}+1-1}{1+a^{2}}=\frac{1+a^{2}}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+a^{2}}=1-\frac{1}{1+a^{2}}$$

Wir wissen:

$$1-\frac{1}{1+a^{2}}\leq{1-\frac{1}{a^{2}}}$$

Nun benutzen wir das Ergebnis aus der Vorlesung und erhalten (wie ich glaube):

$$1\int \limits_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}a^{2}}da\leq{a-(a\int \limits_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}}dx)\leq{\int \limits_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}a^{2}}da}$$

Hilft das auch weiter oder bin ich auf dem Holzweg? LG und Vielen Dank, deinen Hinweis rechne ich sofort nach.

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Wir wissen:$$1-\frac{1}{1+a^{2}}\leq{1-\frac{1}{a^{2}}}$$

Also ist \(1-\frac{1}{2}\leq 1-\frac{1}{1}=0\)?

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Damit hast du mich aus dem Konzept gebracht. Das sollte natürlich nicht sein. Vielleicht sollte ich eine Fallunterscheidung für a>1, a=1und 0<a<1 machen.