A und B seien Ereignisse von denen Folgendes bekannt ist: P(A∩B) = 0,05; P(A¯∩ B¯)=0,15; P(A \ B¯)=0,5

Question

Es seien A und B zwei Ereignisse von denen folgendes bekannt ist:

P(A∩B) = 0,05       P(A¯∩ B¯) = 0,15       P(A \ B¯) = 0,5

Bestimmen sie P(A) und P(B)

also bei dieser Aufgabe habe ich mir gedacht mit einer vierfeldertafel anzufangen, somit würde dann ja auch reichen wenn ich P(B¯) rauskirgen würde jedoch weiß ich nicht was ich genau da anwenden muss. Würde mich über hilfreiche antworten freuen.  

Answer 1

Nun, ich nehme an, dass statt  P ( A \ B¯ ) gemeint ist:  P ( A | B¯ ) also die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B¯.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P ( A | B ) ist definiert als:

P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) / P ( B )

<=> P ( B ) =  P ( A ∩ B ) / P ( A | B )

Es gilt: P ( A | B ) = 1 - P ( A | B¯ ) , vorliegend also: P ( A | B ) = 1 - P ( A | B¯) = 1 - 0,5 = 0,5 . Daher:

<=>  P ( B ) =  P ( A ∩ B ) / ( 1 - P ( A | B¯ ) )  = 0,05 / 0,5 = 0,1

Damit ergibt sich aus dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit

P ( A ) = P ( A | B ) * P ( B ) + P ( A | B¯ ) * P ( B¯ )

mit P ( B¯ ) = ( 1 - P ( B ) ) = 1 - 0,1 = 0.9 :

P ( A ) = 0,5  * 0,1 + 0,5  * 0,9  = 0,05 + 0,45 = 0,5

Comments

es kommt aber P(A)=0,2 heraus

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es kommt aber P(A)=0,2 heraus

Woher hast du diese Information?

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ergibt sich aus der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

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Es gilt: P ( A | B ) = 1 - P ( A | B¯ )

Gilt das wirklich ?

Eher doch so oder

P ( A | B ) = 1 - P ( A¯ | B )

Answer 2

Ist nicht P(A \ B¯) das gleiche wie P(A∩B) 

Schau mal ob du das richtig abgeschrieben hast.

Comments

Ist nicht P(A \ B¯) das gleiche wie P(A∩B)

So ist es.
Der Fragesteller hat aber für P(A \ B¯) bzw.  P(A∩B) zwei verschiedene Werte angegeben, was mich zu der Annahme geführt hat, dass nicht  P(A \ B¯) sondern P( A  | B¯) gemeint ist.

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Dann macht das natürlich mehr Sinn. Meine 4-Feldertafel würde dann wie folgt aussehen.

	A	-A
B	0.05	0.65	0.70
-B	0.15	0.15	0.30
	0.20	0.80	1.00

P(A∩B) = 0.05

P(-A∩-B) = 0.15

P(A|-B) = 0.50

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Wie kommen Sie zum Schluss auf 0,50?

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P(A | -B) = 0.15/0.30 = 0.50

Wie hättest du es sonst berechnet?