Diagonalmatrix und Invertierte Matrix

Question

Aufgabe:

Für \( \alpha \in \mathbb{R} \) sei die Matrix \( A_{\alpha} \in \mathbb{R}^{3,3} \) gegeben durch:

\( A_{\alpha}=\left[\begin{array}{lll} 3 & 1 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] \)

a) Berechnen Sie die Eigenwerte und zugehörigen Eigenräume von \( A_{2} \) (also von \( A_{\alpha} \) mit \( \alpha=2) \)

b) Zeigen Sie, dass \( A_{\alpha} \) für alle \( \alpha \neq 3 \) diagonalisierbar, aber für \( \alpha=3 \) nicht diagonalisierbar ist.

Hinweis: Überlegen Sie sich, welcher Satz aus der Vorlesung aufwendiges Rechnen erspart.

c) Geben Sie eine invertierbare Matrix \( S \in \mathbb{R}^{3,3} \) sowie eine Diagonalmatrix \( D \in \mathbb{R}^{3,3} \) an, so dass gilt \( A_{2}=S D S^{-1} \).

d) Berechnen Sie \( e^{A_{2}} \).

Answer 1

Hm bei der b) käme mir folgendes in den Sinn.

Denk immer daran, dass Aufgabenteile sich oft aufeinander beziehen.

Ein Satz ist(wahrscheinlich habt ihr den gehabt), dass eine Matrix diagonalisierbar ist,

wenn die algebraische Vielfachheit und die geometrische Vielfachheit übereinstimmen.

Das heißt einfach, (in deinem Charakteristischen Polynom hast du ja höchstwahrscheinlich

eine Linearkombination, also ein Polynom in der Form: X_F =(X-a)(X-b)(X-c)..... usw..), dass die

Dimension der Eigenräume zu einem Eigenwert mit dem "Exponenten" der Klammer zum EW übereinstimmt.

Zum Beispiel: X_f = (X-3) (X-4) (X-12) Jetzt rechnest du die Eigenräume aus und stellst fest, das der Eigenraum

von dem Eigenwert 3 die Dimension 1 hat. Dann stimmt der Exponent der Klammer  (im Charakteristischen Polynom) wo dein Eigenwert vorhanden ist mit der Dimension des Eigenraums überein(hier 1).

So meine Annahme wäre jetzt, dass du wenn du für Alpha 3 einsetzt, dass du logischerweise ein Char. Polynom kriegst in der Form: X_f = (X-3)^2....usw. die Dimension des Eigenraumes bleibt aber 1. (Das muss man natürlich überprüfen!) Dann würde die Geometrische Vielfachheit und die Algebraische NICHT übereinstimmen, ergo die Matrix ist nicht diagbar. Hoffentlich war das verständlich, ansonsten frag mmich nochmal, oder google algebraische und geometrische Vielfachheit;).

Liebe Grüße

Comments

jap danke das war genau der gesuchte ansatz habe es in den aufzeichnungen einfach

übersehen :S

bei aufgabe d ist mir irgendwie nicht ganz bewusst wie ich eine matrix also potenz

von e ausrechnen muss hast du da noch nen tipp?

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und wie beweise ich das Aaplha für alle alpha /= 3 diagonalisierbar sind da reicht

doch kein gegenbeispiel also aus a wo ich das für 2 ja schon bewiesen hab oder?

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Nein das ist es natürlich nicht.

Aber vielleicht kannst du einfach mal für Alpha ein ein Charakteristisches Polynom,

und dann eine Eigenraumgleichung aufstellen(also ein Gleichungssystem zum Eigenwert alpha auf).

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ok danke noch mal für alles hat mich echt geholfen ;)