Zusammenhang: Schadstoffkonzentration und Algenvorkommen

Question

Aufgabe:

In fünf Gewässern wurde die Konzentration eine Schadstoffs und das Vorkommen einer Algenart untersucht.

Gewässer	Schadstoff [μmol/l]	Algen pro Liter
Fluss	8	1500
Teich	7	2100
Hafenbecken	10	250
See	4	3500
Bach	3	3400

(a) Tragen Sie die Werte in ein Streudiagramm ein. Lässt sich ein Zusammenhang erkennen?

(b) Berechnen Sie Mittelwert und Standardabweichung der Schadstoffkonzentration sowie des Algenvorkommens! Berechnen Sie dann die Kovarianz von Schadstoffkonzentration und Algenvorkommen!

(c) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizient! Was sagt Ihnen dieser Wert?

(d) Geben Sie die Gleichung der Regressionsgeraden an.

(e) Zeichnen Sie die Regressionsgerade in das Streudiagramm ein.

Unten ist die Streudiagrammskizze.

Meine Vorüberlegung:

Ist es eine diskrete oder stetige Wahrscheinlichkeit?

Festlegung:
diskret

Ist das richtig? Wenn ja, dann kann ich weitermachen.


Ab einer Schadstoffkonzentration von ca. 5 μmol/l sterben die Algen ab. Die meisten Algenarten tolerieren nicht die hohen Giftkonzentrationen und sterben.

Answer 1

Die Skizze sieht pauschal richtig aus. Ich denke man kann hier auch recht gut einen linearen Zusammenhang erkennen.

Ob die Verteilungen hier stetig oder Diskret sind spielt eigentlich keine Rolle. Eigentlich wären beides eher stetige Werte und nur durch Messungenauigkeiten diskret.

Das spielt hier aber eigentlich keine Rolle. Aber vielleicht zum Verständnis. Die Körpergröße ist eigentlich eine stetige Größe. Allerdings wenn man nur auf cm genau misst dann gibt es ja nur diskrete Werte. Aber das liegt eben an der Messung und nicht eigentlich das Körper nur sprunghaft in 1 cm Schritten wachsen.

So also jetzt zur zweiten Aufgabe und Mittelwert und Standardabweichung getrennt für beide Merkmale berechnen.

Comments

x_S=32/5=6,4
x_A=10.750/5=2150

s_A≈2,88
s_Sc≈1361,98

b)
Die Kovarianz kann zwar die Tendenz einer Beziehung zwischen den Merkmalen zeigen,allerdings hängt sie sehr von den Messwerten x_i bzw. y_i ab. Um deshalb die Stärke der Beziehung zwischen den Merkmalen quantifizieren zu können, wird die Kovarianz normiert, dies führt auf den (Pearsonschen) Korrelationskoeffizienten:

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Der Korrelationskoeffizient ist dimensionslos und sein Wert liegt zwischen -1 und 1.

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Mittelwerte habe ich soweit auch heraus.

Meine Standardabweichungen sind allerdings

σ_schadstoff = 2.577

σ_algen = 1218

Beide auf 4 dezimale gerundet.

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Ich habe nicht mit 1/5 sondern mit 1/4 multipliziert, weil ich diese Formel verwendet habe:

Im Nenner steht doch n-1. Ich dachte dass n 5 ist und 5-1=4 Deshalb hatte ich 1/4...

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Ja. Da hast du recht. Wir haben hier ja keine Vollerhebung der Daten. Dann ist es genauer mit deiner Formel zu rechnen.

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Die Formel für die Kovarianz lautet:



Hier wird also die Standardabweichung der Algen mit der Standardabweichung des Schadstoffes multipliziert.

s_xy=1/4*2,88*1361,98=980,62

c)
r_xy=980,62/2,88*1361,98≈0,2499

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Aufgabe d) Ist das korrekt?

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Stell doch mal die Gleichung für die Regressionsgerade auf und zeichne sie ein. Dann solltest du sehen ob das passt.

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So, ich werde jetzt alle Aufgaben aufschreiben, weil ich morgen die Aufgaben früh abgeben muss. Vielen Dank Der_Mathecoach, dass du mich in allen 8 Aufgaben begleitet und unterstützt hast! Ich hoffe, dass du nicht durch mich graue Haare bekommen hast ;-), weil es doch sehr entmutigend sein kann, wenn falsche Formeln oder Herleitungen aufgestellt werden und man als Unterstützer verzweifeln kann.

 

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Also, ich hab bin der Meinung du hast die Kovarianz falsch. Die sollte  -3850 sein.

So ergibt sich für den Koeffizienten: ca -0,981 (Kommt ja auch hin, denn es korreliert negativ und alle Punkte würden so ziemlich auf der Geraden liegen wenn du sie dir reindenkst.)

Als b hab ich dann: -3850/8,2944 = -464,17x

Als a hab ich dann: 2150-(-464,17)*6,4 = 5120,688

Also f(x)=-464,17x+5120,688

Dein a Wert, also Schnittpunkt mit der y Achse kann nicht stimmen. Da ja die Gerade nach oben hin in Richtung y Achse geht. 1393,19 is also viel zu wenig, wenn du die gerade einzeichnest. 5120 kommt da schon eher hin.

Alles ohne Gewähr, ich denke mal wenn du deine Varianz korrigierst, dann kommst du auf die gleichen Werte.

Grüße und bis morgen ;)

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Du solltest am ende auf folgende Lineare Funktion kommen:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=linear%20fit%20%7B8%2C1500%7D%2C%7B7%2C2100%7D%2C%7B10%2C250%7D%2C%7B4%2C3500%7D%2C%7B3%2C3400%7D

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Vielen Dank für die graphische Darstellung! Ich habe mir den Graphen angesehen und jetzt sehe ich das mein Ergebnis nicht stimmen kann!

PS: Vielen Dank auch an Gast jb66 für die Unterstützung!

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Ich habe meinen Fehler gefunden und zwar habe ich das Quadrat jedes mal mitdabei gehabt, aber jetzt habe ich die gleichen Werte wie Gast jb66 erhalten. Jetzt bin ich Happy, dass ich auf diese Ergebnisse gekommen bin :-)