Partielles integrieren und substituieren mit Grenzen

Question

im Rahmen der Integration habe ich mich mit der partiellen Integration und mit der Integration durch Substitution beschäftigt. Die "Formel" für das partielle integrieren ist mir bekannt und kann ich auch anwenden. Auch das Verfahren durch substituieren habe ich mehr oder weniger drauf. Wie gehe ich aber vor wenn ich partiell integrieren oder durch Substitution integrieren soll und eine vorgegebene Ober- und Untergrenze habe? Ist das Vorgehen dasselbe und ich muss am Ende nur die Grenzen einsetzen?

Danke

Answer 1

Mit dem unbestimmten Integral
∫ f(x) dx = F(x) + c

bestimmt man die Menge aller Stammfunktionen.
Mit dem bestimmten Integral im Intervall von a bis b

∫ (a bis b) f(x) dx = F(b) - F(a)

bestimmst du die Differenz zweier Stammfunktionswerte und damit den gerichteten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse.


Prinzipiell berechne ich also immer das unbestimmte Integral und damit eine Stammfunktion und bilde danach gemäß dem bestimmten Integral die Differenz.

Gerade bei der Substitution mache ich da aber unnötige Schritte, denn bei der Substitution muss man für eine Stammfunktion Resubstituieren und beim bestimmten Integral kann man sich das Resubstituieren auch sparen, weil man sich dafür die Grenzen umgewandelt hat. Letztendlich ist es aber nicht wesentlich mehr Arbeit und ich persönlich finde es klarer das so strukturiert zu machen.

Answer 2

Soweit ich mich erinnere, kannst du die Grenzen zunächst weglassen bzw. unter das Integral einfach "Fläche" oder so etwas schreiben, damit zumindest klar ist, worüber du integrierst.

Am Ende setzt du die Grenzen wie du sagtest ein. Es ist zwar nicht super genau, aber ich denke kommt auf den Lehrer/Dozent an, wie das bewertet wird.

Liebe Grüße :)