Berechnen sie den Grenzwert

Question

$$ \underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { e^{ x }-1-x }{ 1-cosx\\ \\  } \\ Lösung\quad soll\quad sein:\quad 1 $$

Answer 1

Wenn wir da 0 einsetzen, kommt raus: (e⁰ - 1  -0)/(1 - cos(0)) = 0/0

In derartigen Fällen empfiehlt sich die Regel von L*Hospital, indem man Zähler und Nenner ableitet:

f'(x) _Zähler = e^x -1 und f'(x) Nenner = sin(x) -> lim für x gegen 0 von (e^x -1)/sin(x) ist immer noch 0/0

Also, nochmal L'Hospital:

f'(x) _Zähler = e^x  und f'(x) Nenner = cos(x) -> lim für x gegen 0 von (e^x )/cos(x) geht gegen (e⁰ )/cos(0) = 1/1 = 1.

Answer 2

ein typischer Fall  von 0 / 0 und damit für l´Hospital
[ e^x - 1 - x ] ´ = e^x - 1
[ 1 - cos(x) ] ´ = sin(x)
lim x -> 0 für  [ ( e^x - 1 ) /  sin(x) ] = 0 / 0
nochmal l´Hospital
[ e^x - 1 ] ´ = e^x
[ sin(x) ] ´ = cos(x)
lim x -> 0 für  e^x /  cos (x)  = 1 / 1 = 1

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mfg Georg