Betragsungleichung lösen: | 4 - x^2 | ≥ 4

Question

Hallo liebe Mathefreunde,

ich habe ein wenig verständnisprobleme bei Ungleichungen und hoffe hier auf Hilfe, Wie ist zum Beispiel folgende Betragsungleichung |4 - x²| ≥ 4 zu lösen? Ich hätte da einen Ansatz, nämlich die Fallunterscheidung:

der Ausdruck im Betrag größer oder gleich Null:

|4 - x²| > 0 =>  - x² > -4 => x² < 4 ....also x < 2 für  | 4 - x2| > 0

|4 - x2| ≥ 4 komm ich auf wurzel 0

Dann ist die Lösung von Fall 1 x muss kleiner als 2 sein und größer gleich 0?

der Ausdruck im Betrag kleiner Null:

-|4 - x2| < 0 (dasselbe in grün)

- 4 +x² < 0 §Äquivalenzumformung§      x < 2

-|4 - x2| ≥ 4

- 4 +x2 < 4 => x < 0 , wie fasse ich dass zusammen ?

(sorry, ich hab irgendwie grad nen hänger - Deutschland :D)

Liebe Grüße

Comments

kleine Fehlerhinweise

" |4 - x²| > 0 =>  - x² > -4 => x² < 4 ....also x < 2 für  | 4 - x2| > 0 "

Es gilt x² < 4  also -2 < x < 2

" |4 - x²| > 0 =>  - x² > -4 => x² < 4 ....also x < 2 für  | 4 - x2| > 0 "

| 4 - x2| > 0 ist stets größer Null ( außer x = ± 2  ). Du meinst

für den 1. Fall ( 4 - x^2 ) ≥ 0

mfg Georg

Answer 1

Betragsungleichungen lassen sich recht gut über Fallunterscheidungen lösen.

|4 - x^2| ≥ 4

1. Fall der Term 4 - x^2 ≥ 0 --> -2 ≤ x ≤ 2 dann kann ich die Betragsstriche einfach weglassen

4 - x^2 ≥ 4
x = 0

x ist hier also eine Lösung die auch mit der Fallunterscheidung vereinbar ist.

2. Fall der Term 4 - x^2 < 0 --> x < -2 ∨ x > 2 dann lasse ich die Betragsstriche weg und negiere den Ausdruck.

-(4 - x^2) ≥ 4
x ≤ - 2·√2 ∨ x ≥ 2·√2

Auch dieses ist mit der Fallunterscheidung vereinbar. 

Am Ende bildet man noch die Vereinigungsmenge der Lösungen

x = 0 ∨ x ≤ - 2·√2 ∨ x ≥ 2·√2

Das wars.