Question

Bestimmen sie die n-te Ableitung von f(x):=logx , x>0

Comments

Welche Basis hat bei euch log in f(x):=logx ?

Basis 10 ?

Answer 1

f(x):=log₁₀(x) ?

Wenn ja, dann

f'(x) = 1/(x*ln(10)) = (x*ln(10))^-1

f''(x) nach Kettenregel -> f''(x) = (-1)*(x*ln(10))^-2 *ln(10)= -ln(10)/(x*ln(10))² = -1/(x²*ln(10)) = -(x²*ln(10))^-1

f'''(x) nach Kettenregel -> f'''(x)= -(-1)*(x²*ln(10))^-2*2*x*ln(10) = 2*x*ln(10)/(x²*ln(10))² = 2/(x³*ln(10)) = 2*(x³*ln(10))^-1

f''''(x) nach Kettenregel -> f''''(x)= (-1)*2**(x³*ln(10))^-2*3*x²*ln(10) = -6(x⁴*ln(10))

....

Man erkennt folgendes:

1. Das Vorzeichen vor den Ableitungen ist alternierend.

2. Im Zähler ist die Folge [1, 2, 6, ..} erkennbar -> 1 = 1 , 2 = 1*2, 6 = 1*2*3 => sieht nach Fakultät aus

3. Im Nenner erhöht sich der Exponent von x schrittweise im 1 und ln(10) bleibt immer erhalten.

-> f⁽ⁿ⁾(x) = (-1)^{n - 1} *(n-1)!/(xⁿ *ln(10)) für n = 1 (1. Ableitung) bis n = oo (oo. Ableitung)