ableitung von (tan x)^x

Question

Ich bin da etwas verunsichert, kann jemand helfen?

Answer 1

Mit der Kettenregel.

Erstmal \( x^x \) ableiten:

\( (x^x)' = ( e^{x ln(x)} )' = e^{x ln(x)} \cdot ( ln(x) + 1 ) = x^x \cdot ( ln(x) + 1 ) \)

Also

\( (tan(x)^x)' = tan(x)^{tan(x)} \cdot ( ln(tan(x)) + 1 ) \cdot ( 1 + tan^2(x) ) \)

Comments

Bin mir aber da auch nicht so sicher.

Answer 2

Bin mir relativ sicher

[ ( tan x )^x ] ´

Zunächst kommt das Kunststück mit e^{ln[tanx]^x}
e^{ x*ln(tanx)}
[ e^term ] ´ = e^term * term ´

term = x * ln ( tan x )  | Produktregel und Kettenregel
term ´ = 1 * ln ( tan x ) + x * 1 / ( tan x ) *  (tan x) ´
term ´ = 1 * ln ( tan x ) + x * 1 / ( tan x ) *  ( ( tan x )^2 + 1 )
Insgesamt
( tan x )^x * ( ln ( tan x ) + x * 1 / ( tan x ) *  ( ( tan x )^2 + 1 )
kann noch etwas zusammgefaßt werden
( tan x )^x * ln ( tan x )  + x * ( tan x )^{x-1} * ( ( tan x )^2 + 1 )

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mfg Georg