Lösen Sie folgende Gleichungen: (2^{x-0.25} )^2 = e^{x^2}

Question

Lösen Sie die folgenden Gleichungen:

1. \( \left(2^{x-\frac{1}{4}}\right)^{2}=e^{x^{2}} \)

2. \( \ln \sqrt[6]{x^{-16}}+6=\ln \sqrt[3]{x}, x>0 \)

3. \( \left.4+\ln \left(\sqrt[4]{x^{6}}\right)=\ln (\sqrt[4]{x}), \quad x \in\right] 0,+\infty[ \)

Answer 1

Ich helfe mal krz bei 2) und 3)

zu 2) Wurzel umschreiben in eine Potenz : ^b√x^a = x ^a/b und Log-Gesetz: ln(a^b) = b*ln(a)

ln(x^-16/6) + 6 = ln(x^1/3) -> ln(x^-8/3) + 6 = ln(x^1/3) -> (-8/3)*ln(x) + 6 = (1/3)*ln(x)

-> 6 = (1/3)*ln(x) + (8/3)*ln(x) = 3*ln(x)

-> ln(x) = 2 | e^x

^-> x = e²

zu 3) analog zu 2) (Ergebnis: x = e^-16/5)

Answer 2

Erst  Potenzgesetz anwenden ----->(2^x- 0,25)^2 =  2^{2*x -0,5}  

(2*x - 0,5 ) ln 2 = x² ln e ------>  ( 2*x - o,5 ) * 0,693 = x² *1

1,386 *x -0,35 = x²   

- x² + 1,386 x - 0,35 =0      ( * -1 )

x²    - 1,386v x + 0,35  = 0

P-Q -Formel :  x1,2 =  0,695 ±√ 0,133

x1,2 = 0,695 ± 0,364

x1 = 1,059

x2 = 0,331