Forme folgende Gleichung um nach U

Question

Die folgende Gleichung ist gegeben: $$\frac{1}{2}-\frac{e^{b(C+a*U^2-D)}}{e^{b(C+a*U^2-D)}+1}=0$$

In einer Aufgabe geht es darum, eine Gleichung nach der Variablen U umzustellen.

Aber ich bin mir nicht ganz sicher wie man hier vorgehen sollte.

Irgendwie muss man hier den ln ziehen, aber das +1 im Nenner irritiert mich, so bekomme ich doch den Exponenten im Nenner nicht "runter" aufgrund des +1, oder?

Oder kann man dies mit einem bestimmten Logarithmusgesetz machen? Aber man muss doch den Logarithmus auf die e Funktion inklusive dem +1 gleichzeitig anwenden, da sie durch eine Addition verbunden sind, und kann das nicht trennen.

Bei einer Multiplikation sehe das ja anders aus.

Könnte mir jemand bitte die einzelnen Schritte erklären, wie man hier vorgehen muss, um nach dem U aufzulösen? Ich wäre sehr dankbar

Answer 1

\(\frac{1}{2}-\frac{e^{b(C+a*U^2-D)}}{e^{b(C+a*U^2-D)}+1}=0\)

\(\frac{1}{2}=\frac{e^{b(C+a*U^2-D)}}{e^{b(C+a*U^2-D)}+1}\)

Jetzt ersetze erstmal den e hoch ... Term durch eine andere Variable:

\(\frac{1}{2}=\frac{z}{z+1}\) <=> z+1 = 2z <=> z=1

Also hast du \(e^{b(C+a*U^2-D)}=1\)

<=>  \( b(C+a*U^2-D)=0\)

<=>  b=0 oder  C+a*U^2-D=0

<=>  b=0 oder a*U^2=D-C

und falls a≠0 ist

<=>  b=0 oder \( U^2=\frac{D-C}{a}\)

und fall außerdem noch der Bruch nicht negativ ist

 <=>  b=0 oder \( U=\sqrt{\frac{D-C}{a}}\)  oder \( U=-\sqrt{\frac{D-C}{a}}\)

Comments

Vor dem ln zu vereinfachen erleichtert das um einiges, jetzt habe ich es verstanden.

Vielen Dank für die ausführliche Lösung!

Answer 2

Mein CAS sagt               e^{a·b·u^2  + b·c} = e^b·d

Der Exponentenvergleich führt dann zu u=±\( \sqrt{\frac{d-c}{a}} \).

Großbuchstaben wurden als Kleinbuchstaben geschrieben.