Bestimme den Rang der Matrix und löse das lineare Gleichungssystem Ax = (0,1,8).

Question

Aufgabe 4:

a) Bestimmen Sie den Rang der Matrix:

\( A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & \frac{7}{3} \end{array}\right) \)

b) Können Sie aus dem Ergebnis auf die eindeutige Lösbarbeit eines Gleichungssystems \( A x=b \) bei beliebiger rechter Seite b schließen?

Aufgabe 5:

Bestimmen Sie den Rang der Matrix:

\( A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & -4 \end{array}\right) \)

und lösen Sie das lineare Gleichungssystem \( A x=b \) für \( b=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 8\end{array}\right) \).

Ansatz:

Bei der Aufgabe 4 habe ich als Lösung: unendlich viele Lösung raus.

Bei der Aufgabe 5 habe ich als Lösung: x1= (5/9) ; x2 = (29/9) und x3 = -8(/3)

Ist dies richtig?

Answer 1

Beide Ergebsisse stimmen nicht.

a)

[2, 1, 0]
[0, 3, 2]
[1, 4, 7/3]

2*III - I

[2, 1, 0]
[0, 3, 2]
[0, 7, 14/3]

3*III - 7*II

[2, 1, 0]
[0, 3, 2]
[0, 0, 0]

Der Rang ist hier also 2.

b)

Damit wäre ein Gleichungssystem Ax = b entweder nicht lösbar oder hätte unendlich viele Lösungen

[1, -1, -1, 0]
[1, 2, 3, 1]
[3, -1, -4, 8]

II - I ; III - 3*I

[1, -1, -1, 0]
[0, 3, 4, 1]
[0, 2, -1, 8]

3*III - 2*II

[1, -1, -1, 0]
[0, 3, 4, 1]
[0, 0, -11, 22]

Die Matrix hat den Rang 3. Jetzt kann man aus der Zeilenstufenform auch sehr leicht die Lösung ausrechnen.