Bestimmung von reellen Zahlen und von Vektoren

Question

ich hab eine Frage und zwar

EDIT:

a = [1, -1, 1]

b = [2, 1, 2]

c = [1, 1, 2]

x = [1, -1, 1] + r·[2, 1, 2] = [2·r + 1, r - 1, 2·r + 1]

y = s·[2, 1, 2] + t·[1, 1, 2] = [2·s + t, s + t, 2·s + 2·t]

$$Gegeben\quad sind\quad die\quad Vekoren\\ \\ \xrightarrow { a } =(1;-1;1)\quad ,\quad \xrightarrow { b } \quad =\quad (2,1,2)\quad ,\quad \xrightarrow { c } =\quad (1;1;2)\\ \\ Bestimmen\quad Sie\quad die\quad reellen\quad Zahlen\quad { x }_{ 1 },{ \quad x }_{ 2 },\quad { x }_{ 3 }\quad und\quad die\quad Vektoren\quad \xrightarrow { x } =\xrightarrow { a } +{ x }_{ 1 }\xrightarrow { b } \\ und\quad \xrightarrow { y } ={ x }_{ 2 }\xrightarrow { b } +{ x }_{ 3 }\xrightarrow { c } ,\quad so\quad dass\quad die\quad Vektoren\quad \xrightarrow { a } ,\quad \xrightarrow { x } \quad und\quad \xrightarrow { y } \quad paarweise\quad orthogonal\quad sind.$$

Danke für jede Antwort :)

Comments

Ich komme leider nicht klar mit deiner Darstellung.

Paarweise orthogonal bedeutet, dass das Skalarprodukt von je zweien Null sein muss.

Also muss gelten a * x = 0, a * y = 0 und x*y = 0

Vektoren sind bei mir fett.

Formeleditor https://www.matheretter.de/tools/formeleditor/?notice=1 eignet sich leider nicht wirklich für Vektorpfeile.

Kann man die reellen Zahlen x1, x2, x3 auch einfach u,v,w nennen oder sind das die Komponenten von Vektor x?

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x1,x2,x3 sind keine Komponentenvon vom Vektor x.

Answer 1

a = [1, -1, 1]

b = [2, 1, 2]

c = [1, 1, 2]

x = [1, -1, 1] + r·[2, 1, 2] = [2·r + 1, r - 1, 2·r + 1]

y = s·[2, 1, 2] + t·[1, 1, 2] = [2·s + t, s + t, 2·s + 2·t]

Nun soll gelten

a ⊥ x

[1, -1, 1] * [2·r + 1, r - 1, 2·r + 1] = 0
r = -1

a ⊥ y

[1, -1, 1] * [2·s + t, s + t, 2·s + 2·t] = 0
3·s + 2·t = 0

x ⊥ y

[2·(-1) + 1, (-1) - 1, 2·(-1) + 1] * [2·s + t, s + t, 2·s + 2·t] = 0
6·s + 5·t = 0

Wir Lösen das LGS und erhalten s = 0 und t = 0

x = [2·(-1) + 1, (-1) - 1, 2·(-1) + 1] = [-1, -2, -1]

y = [2·s + t, s + t, 2·s + 2·t] = [0, 0, 0]

Eigentlich ist y = [0, 0, 0] keine gültige Lösung.. Daher darfst du jetzt mal meine Rechnungen sorgfältig nachvollziehen und zu kontrollieren. Dort muss sicher irgendwo ein Fehler sein. Aber der Ansatz sollte jetzt klar sein.