Question

ist eine Funktion injektiv, wenn sie nur monoton steigend/fallend ist? Also wenn sie NICHT STRENG monoton steigend/fallend ist.

Danke

Answer 1

Sie darf nicht nur monoton sein, weil das bedeuten würde das ein Funktionswert mehrfach auftritt.

Comments

Als Beispiel: Ich habe eine Funktion f(x)=-x²+2x f: [-1, 1] -> [-3,1] und soll von der die Umkehrfunktion berechnen. Ich überprüfe nach Injektivität, indem ich die erste Ableitung f'(x)=-2x+2 bilde und überprüfe ob für x ∈ [-1, 1] f`(x) >=0 oder <=0 ist. In diesem Fall wäre, doch f '(1)=0, also ist die Funktion monoton steigend.

Unser Prof. hat geschrieben:

f '(x)=-2x+2 >=0 für x ∈ [-1, 1] => also streng monoton fallend => injektiv.

Bin verwirrt.

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Entweder meinte er "streng monoton steigend", oder es stimmt irgendetwas mit den Vorzeichen nicht, oder Du hast Deinen Professor falsch zitiert.

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Die Funktion kann doch aber nicht streng monoton steigend sein, da f '(1)=0 ist oder?

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Doch, sie ist streng monoton. Einzelne Stellen, an denen die Ableitung Null ist, aber kein Vorzeichenwechsel erfolgt, ändern daran nichts. Hier erfolgt kein Vorzeichenwechsel, weil die Stelle x=1 am Rand des Definitionsbereichs liegt.

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f(x) = x^3

f'(x) = 3x^2 

f(x) ist im ganzen Definitionsbereich streng monoton steigend, weil der graph nie fällt und nie konstant bleibt.

Siehe dazu auch

--> https://de.wikipedia.org/wiki/Monotonie_(Mathematik)

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Also wenn ich anstatt x ∈ [-1, 1]; x ∈ [-1, 2] definieren würde für f '(x)=-2x+2, dann wäre die Funktion nicht monoton, da f '(2)=-2 (Vorzeichenwechsel) ist. Also würde es für diese Funktion keine Umkehrfunktion geben. Ist meine Aussage richtig?

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Ja, das ist richtig!