Zeige, dass ein Quadrat vorliegt und bestimme die Koordianten des Mittelpunktes

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte \( A(-1|3|-2), B(2|3| 1), C(3|-1| 0) \) und \( D(0|-1|-3) \)

a) Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist.

b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M des Quadrats ABCD.

Comments

a) Bestimme mal die Länge aller Seiten. Sind die gleich biste schonmal en großen Schritt weiter.

Noch überprüfen ob rechte Winkel vorliegen (Skalarprodukt 0) und bewiesen ist die Sach.


b) Bestimme die Geraden AC und BD. Der Schnittpunkt ist was Du suchst.


Grüße

Answer 1

A = [-1, 3, -2] ; B = [2, 3, 1] ; C = [3, -1, 0] ; D = [0, -1, -3]

Wir bestimmen die Vektoren der Seiten

AB = B - A = [3, 0, 3]
BC = [1, -4, -1]
CD = [-3, 0, -3]
DA = [-1, 4, 1]

|AB| = 3·√2
|BC| = 3·√2

Damit haben wir gezeigt das gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind. 

Bleibt zu zeigen das ein Winkel 90 Grad ist

AB * BC = 0 --> AB ⊥ BC

Damit ist das Viereck ein Quadrat.

M = 1/2·(A + C) = [1, 1, -1]

Answer 2

Ich möchte hier einen etwas anderen Lösungsweg vorstellen, der beide Teilaufgaben verbindet und weniger Arbeit macht:

Gegeben sind die Punkte A(-1 | 3 | -2), B(2 | 3 | 1), C(3 | -1 | 0), D(0 | -1 | -3).
a) Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M des Quadrats ABCD.

Es gilt:

1) Die Längen der Vektoren AC und BD sind gleich, da die Beträge ihrer Komponenten bis auf Vertauschung gleich sind.

2) Die Vektoren AC und BD sind orthogonal, da ihr Skalarprodukt 0 ist.

3) Die Strecken AC und BD haben die gemeinsame Mitte M(1| 1 | -1).

Damit ist das Viereck ABCD ein Quadrat und M(1| 1 | -1) sein Mittelpunkt.

Aufwand: Es müssen zwei Vektoren, ein Skalarprodukt und zwei Mitten bestimmt werden.