Bedeutung der Determinante einer Matrix bei einer linearen Abbildung

Question

Ich versuche derzeit etwas herauszufinden, was lineare Abbildungen mit Matrizen im Vektorraum betrifft.
1. Wie bestimmt man bei einer beliebigen Basis mit beispielsweise 3 gegebenen Vektoren die dazugehörige Matrix, wenn einer der Vektoren der Kern der Abbildung ist und die anderen beiden Vektoren senkrecht auf diesem stehen.

Stichwort: Darstellung eines Vektors mit versch. Basen

2. Wenn man die Matrix einer Abbildung bestimmt hat und die Determinante davon berechnet. Was sagt der Wert, der dabei herauskommt über die Abbildung aus. Also z.B. irgendwie so etwas wie, det(A)=1 -> Abbildung ist surjektiv o. Ä. (ich weiß nicht ob das zutrifft, sollte nur als Beispiel für die mögliche Antwort dienen)

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und versteht ungefähr, was meine Fragen sind!

Answer 1

zu 1)

Da hat mein Tutor einen guten Spruch gebracht.

"Die Spalten deiner Matrix sind die Bilder der Basisvektoren!"

Du weißt ja, dass eine Matrix eine Abbildung beschreibt, somit setzt du "einfach" die Basisvektoren in diese Abbildung ein. Das Bild des ersten Basisvektors ist dann die erste Spalte deiner Matrix,  das des zweiten die Zweite usw.


zu 2)

Da gibt es tatsächlich einige Sachen, mir fallen aber bestimmt hier nicht alle ein.

Weitesgehend sagt die Determinante aber weniger über die Abbildung aus als vielmehr über die Matrix der Abbildung.

Spontan fällt mir ein, dass wenn die Determinante ungleich Null ist, ist deine Matrix invertierbar.

Aber da gibs noch viele andere Kriterien, sieh dazu einfach mal in deinem Skript nach und mach dir eine Tabelle.

Weitesgehend beschränkt es sich jedoch darauf, ob eine Determinante ungleich oder gleich Null gibt, woraus man bei beiden Fällen eine Ketter von Sachen schlussfolgern kann, gib dazu im Internet einfach mal:" Was gilt, wenn eine Determinante ungleich Null ist?" ein, oder so. Da wirst du schon was finden.

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

Liebe Grüße :)

Comments

Vielen Dank :) Das war schon eine große Hilfe! Ja das mit der Determinante hab ich schon alles probiert und hab auch was über Inverse Matrizen gefunden, und natürlich die Determinantensätze, aber sonst leider nichts.

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Man kann noch einige andere "Kleinigkeiten" mit Hilfe der Determinante feststellen. So folgt beispielsweise unmittelbar aus dem Satz von Vieta, dass die Determinante einer Matrix das Produkt ihrer Eigenwerte ist. So weiß man sofort, dass eine Matrix mit x=0 als Eigenwert auch die Determinante 0 hat. Das ist auch logisch, denn das heißt, dass ker(A-x*I) nicht trivial ist und da x=0 ist, bedeutet dies genau, dass der zur Matrix gehörende Endomorphismus nicht bijektiv ist, also ist die Matrix nicht invertierbar. Ferner kann man aus dem Satz von Vieta, wenn man die Determinante kennt, z.B. häufig etwas über die Definitheit der Matrix sagen. Wenn man z.B. eine 2x2-Matrix hat mit negativer Determinante, so ist einer der Eigenwerte negativ und der andere positiv und damit ist die Matrix indefinit. Es gibt noch eine Reihe weiterer "Tricks" dieser Art, aber das würde den Rahmen hier sprengen.