Kritische Stellen bestimmen f: R^2 -> R: (x,y) → x(y^2 - 9) - 6y^2.

Question

Aufgabe:

Kritische Stellen bestimmen:

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}:(x, y) \mapsto x\left(y^{2}-9\right)-6 y^{2} \)

Hier sollen alle kritischen Stellen und deren Typ bestimmt werden.

Habe jetzt durch den Gradienten jeweils die Ableitungen und nach x & y aufgelöst, sodass ich auf  y=±3 und auf x=6 komme.

Aber dann weiß ich nicht mehr weiter...

In welche 2. Ableitung muss ich diese Werte einsetzen um den Typ bestimmen zu können.

Answer 1

Du musst die Hessematrix bilden. Wenn die Hessematrix an einem kritischen Punkt positiv definit ist, hat man dort ein Minimum. Ist die Hessematrix an einem kritischen Punkt negativ definit, ist dort ein Maximum.
Ist die Hessematrix dort indefinit, dann liegt ein Sattelpunkt vor.
Bei Semidefinitheit (positiv oder negativ) kann man mit Hilfe der Hessematrix keine Aussage über die Existenz/Art des Extremums treffen; man muss dann andere Mittel benutzen.

Comments

Ja genau das hab ich bereits.

Für die Hesse- Matrix kommt raus:

theoretisch müsste ich doch jetzt meinen x und y-Wert in jede der vier Gleichungen einsetzen.

Also: x=±3 und y=6

0 = 0 

2*y = 2* 6 = 12 (Minimum)

2*y = 2* 6 = 12  (Minimum) und 

2x-12= 2* ±3 = 6 und 18 (Minimum)

Aber das scheint mir falsch zu sein.

Und ich weiß dann auch nicht weiter. Wie bestimme ich dann den Punkt?

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Du musst nicht jeden Wert einzeln auf sein Vorzeichen überprüfen, sondern die gesamte Matrix auf Definitheit.

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Kann mir da mal jemand nen Lösungsweg geben... Ich komm da einfach nicht weiter!

Danke

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Und was hast du dann davon, wenn irgendjemand dir die fertige Lösung hinschreibt? Du kannst es dann immer noch nicht.

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Das lass mal meine Sorge sein.

Ich weiß im Prinzip wies geht kanns aber nicht umsetzten weil ich immer den gleichen Fehler mache und wenn ich den RICHTIGEN Lösungsweg sehe, sehe ich was ich falsch mache.

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Übrigens hast du beim Einsetzen in die Hessematrix die Werte für x und y vertauscht.

Woher weißt du eigentlich, dass du immer den gleichen Fehler machst? Dann müsstest du ja auch wissen, wo dein Fehler ist. Schreib doch mal deinen Lösungsweg hier hin, dann guck ich mir mal an, wo der Fehler ist.

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Ja hab ich im Nachhinein auch gesehen.

Was meinst du das ich nicht jeden Wert einzeln überprüfen muss sondern die Matrix?

Wie macht man das?

Reicht das zum Beispiel wenn ich mein x und y-Wert jeweils nur in eine Gleichung einsetzte?

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Ich wiederhole mich nur ungern, aber nochmal: Du musst die Hessematrix auf Definitheit überprüfen!

Am Punkt \((x,y)=(6,3)\) ist die Hessematrix \(\begin{pmatrix}0 & 6 \\ 6 & 0\end{pmatrix}\). Diese Matrix überprüfst du jetzt auf Definitheit und weißt dann, ob bei \((6,3)\) ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt vorliegt.

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Ich wiederhole mich auch nur ungern, aber nochmal: Wie macht man das? überprüfen auf Definiertheit? sagt mir gerade nichts....

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Nicht Definiertheit, sondern Definitheit.

Google hat mir bei solchen Fragen immer sehr weitergeholfen + Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit

(Post durch Admin geändert)

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Ach tatsächlich? wenn es dir geholfen hat wird es das bei mir bestimmt auch...

Danke für die Empfehlung ;)

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Wieso wurde mein Kommentar geändert?
Wer zu faul ist, sich die Definition der Definitheit selbst zu suchen, dem muss man doch nicht noch den Link auf dem Silbertablett servieren! Ein bisschen Eigenrecherche darf man ja wohl erwarten.

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@Nick: Der Post wurde abgeändert, um sachlich zu bleiben. Das wäre doch sonst der Start für eine unnötig emotionale Diskussion.

Danke für dein Verständnis :)
Kai

Answer 2

Deine Werte stimmen

So richtig werde ich aus der 2.Ableitung auch nicht schlau.

Hier ein Link zu einer graphischen Darstellung

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28++x*y%5E2+-+9*x+-+6*y%5E2++%29

mfg Georg