Ein Polynom dritten Grades suchen

Question

Meine Frage ist:

Ein Polynom dritten Grades habe die folgende Eigenschaften:
a) Für  x = -2 hat es eine doppelte Nulstelle.

b) Für x =1/2 liegt ein Wendepunkt mit der Steigung k = 15/4

Wie ist die Gleichung von Polynom ?


LG

Answer 1

Ein Polynom dritten Grades habe die folgende Eigenschaften:
a) Für  x = -2 hat es eine doppelte Nulstelle.
b) Für x =1/2 liegt ein Wendepunkt mit der Steigung k = 15/4

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
f ´ ( x ) = 3*a*x^2 + 2 * b * x + c
f ´´ ( x ) = 6 * a * x + 2 * b

f ( -2 ) = a*(-2)^3 + b*(-2)^2 + c*(-2) + d = 0
f ´ ( -2 ) = 3*a*(-2)^2 + 2 * b * (-2) + c = 0
f ´´ ( 0.5 ) = 6 * a * 0.5 + 2 * b = 0
f ´ ( 0.5 ) = 3*a*0.5^2 + 2 * b * 0.5 + c = 15/4

Das ist ein Gleichungssystem mit 4 Unbekannten
und 4 Gleichungen. Dürfte damit lösbar sein.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

mfg Georg

Comments

Danke für die Antwort ! 

Noch eine Frage : 

Kann man eigentlich die Gleichung direkt wegen den doppelten Nulstellen so schreiben ?


f(x) = (x+2)²(ax+b)

 

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Ja, das kann man so machen. Es gibt neben dem Polynomansatz oft weitere Ansätze, die die Rechnung deutlich vereinfachen.

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Bei mir kommt heraus
f ( x ) = -0.2 * x^3 + 0.3 * x^2 + 3.6 * x + 4.4

Leider stimmt dies nicht mit der vereinfachten
f(x) = (x+2)²(ax+b)
Funktion überein.

mfg Georg
 

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Bei mir kommt heraus
f ( x ) = -0.2 * x^3 + 0.3 * x^2 + 3.6 * x + 4.4 = (x + 2)^2 * (-0.2*x + 1.1)

Die Variable b hat je nach Ansatz unterschiedliche Bedeutungen!