Erste Schritte der Ableitung g(t) = ln√t / √t prüfen

Question

Abgeleitet werden soll g(t) = ln√t / √t

Ich schreibe die Funktion zunächst um: g(t) = 1/2 ln(t) / t^1/2     t^1/2  stellt den Nenner dar. 

Nun leite ich das mit der Quotientenregel ab und erhalte:

1/2 * 1/t * t^1/2 - 1/2 ln(t) * 1/2t^-1/2 / (t^1/2 )²    (t^1/2 )² stellt den Nenner dar.

Ist das bis hierhin korrekt oder habe ich einen Fehler gemacht? Nun kann das Ganze ja noch zusammengefasst werden, vorab wollte ich mich aber vergewissern ob ich richtig abgeleitet habe. 

Answer 1

g ´( t ) = 1/2 * 1/t * t^1/2 - 1/2 ln(t) * 1/2t^-1/2 / (t^1/2 )^2
Die Klammerung des Zählers fehlt und den Nenner habe
ich bereits vereinfacht.
g ´( t ) = [ 1/2 * 1/t * t^1/2 - 1/2 ln(t) * 1/2t^-1/2 ]  /  t

mfg Georg

weiter
1 / t * t^1/2 = t^-1/2

g ´( t ) = [ 1/2 * t^-1/2 - 1/2 ln(t) * 1/2t^-1/2 ]  /  t
g ´( t ) =  1/2 * t^-1/2 [ 1 - 1/2 ln(t) ]  /  t
g ´( t ) =  1/2 * t^-3/2 [ 1 - 1/2 ln(t) ]

Comments

Bis auf die Klammersetzung waren meine Schritte also richtig? Vielen Dank

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Richtig. mfg Georg

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Eine Frage habe ich noch zu einer anderen Funktion:

Ich soll die Funktion logarithmisch differenzieren: z= 1/2 * y^2y

Zuerst bilde ich den ln auf beiden Seiten und leite dann ab. Beschränken wir uns zunächst mal nur auf die rechte Seite:

ln(1/2 * y^2y ) Dann habe ich die 2y vor den ln gezogen: 2y * ln (1/2*y)

Der Prof. hat den ln aufgeteilt in ln1/2 + lny * ln2y und dann abgeleitet.

Ich wiederum habe 2y * ln (1/2*y) mit der Produktregel abgeleitet und komme auf:

2ln(1/2 * y) +2 was aber nicht dem Ergebnis vom Prof. entspricht. Wenn ich 2y * ln (1/2*y) mit der Produktregel ableite komme ich auf : 2 * ln(1/2 * y) + 2y * 1/y . Irgendwie entdecke ich meinen Fehler nicht.

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ln(1/2 * y^2y ) ist nicht gleich 2y * ln (1/2*y)
Du hast die 2y nur als Exponent über y stehen und nicht
über 1/2
Richtig wäre deine Umformung für
ln [  (1/2 * y)^2y ] ist gleich 2y * ln [1/2*y ]

 

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Okay, hab ich mir schon fast gedacht das der Fehler irgendwas mit der Umformung des ln zu tun hat

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Übung macht den Meister.
Von Schwierigkeiten und Fehlern lernt man am meisten.
per asperda ad astra. ( Lateinischer Spruch  ) =
Durch die Schwierigkeiten zu den Sternen.
mfg Georg

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ich möchte dir noch anhand deines Beispiels
die Ableitung von Exponentialfunktionen
demonstrieren Der Term wird in einen
Exponenten von e verwandelt
term = e^[ln(term)] und dann
abgeleitet.

 

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

Answer 2

f(x) = LN(√t) / √t

f(x) = 1/2 · LN(t) / t^{1/2}

f'(x) = 1/2·(1/t·t^{1/2} - LN(t)·1/2·t^{- 1/2})/t

Vereinfacht zu

f'(x) = (2 - LN(t))/(4·√(t^3))