Integral: F(x) =0, daraus folgt f(x)=0? Wann gilt das?

Question

Wenn F(x) =0 ist, bedeutet es das f(x) = 0 ist? Ist das immer so oder gibt es da Ausnahmen?

Also meine Frage genau ist, wenn das Integral einer Funktion an der stelle x, gleich null ist, bedeutet das gleich das die Funktion an der Stelle = 0 ist?

Answer 1

Nein, hier ein Gegenbeispiel. $$F(x) = (x+1)^2-4$$ $$F'(x)=f(x)=2x$$ Betrachte nun F(x) =0: $$F(x_0)=0 <=> x_0=1 \text{ oder }x_0=-3$$ Aber: $$f(-3)=-6\text{ und } f(1)=2$$ Das lässt sich auch recht gut nachvollziehen, da die Ableitung eines Polynoms immer einen niedrigeren Grad hat, also nach dem Fundamentalsatz der Algebra auch höchstens soviel Nullstellen, also deine Stammfunktion mehr Nullstellen haben kann als die ursprüngliche Funktion.

Comments

In welchen Fällen stimmt das denn, was ich ursprünglich gefragt hatte?

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In welchen Fällen stimmt das denn, was ich ursprünglich gefragt hatte?

Es stimmt in den Fällen, in denen der Graph von F die x-Achse als Tangente hat.

Es gilt ja: F(x) = F'(x) = f(x) = 0.

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Also meine Frage genau ist, wenn das Integral einer Funktion an der stelle x, gleich null ist, bedeutet das gleich das die Funktion an der Stelle = 0 ist?

Du meinst, ob diese Aussage gültig ist?

Wenn ein Integral Null ist, dann sind m. E.  die untere und die obere Integrationsgrenze (das wäre ja die "Stelle x")  gleich, egal wie die Funktion an sich aussieht.

Den Rest kannst dir mit etwas Überlegung selber ableiten .-)

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Dankeschön!

Nun bin ich wieder ein ganzes Stück schlauer.  

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@Pierre

F ( x ) = ( x + 1)^2 - 4
F ´( x ) = 2 * ( x + 1 ) * 1
F ´( x ) = 2 * x + 2

Meine Ableitung differiert etwas von deiner Ableitung

F ´( x ) = f ( x ) = 2 * x

mfg Georg

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Mich irritiert die Diskussion.

Ausgangsfunktion : f ( x )
Stammfunktion : F ( x ) = ∫ f ( x ) dx
bestimmtes Integral : ∫_a^b  f ( x ) dx

Was meint der Fragesteller ?

falls die Stammfunktion F ( x ) = 0 an der Stelle x  ist
dann muß auch f ( x ) an dieser Stelle 0 sein?

oder

die Stammfunktion wird über einen bestimmen Bereich a..b
integriert, wird dann zu null und ist dann f ( b ) auch null ?

mfg Georg

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Oh! Ja, das nenn ich mal einen peinlichen Fehler :(

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Hallo Pierre,

  es hat  noch niemand hier stets richtige Antworten gegeben.
Das geht auch nicht.

  Das Ganze braucht nicht peinlich sein. Also Fehler zugeben.
Falls noch nötig korrigieren. Finito.

 In meinem vorigen Kommentar wies ich auf einige Irritationen
hin welche mir die Frage bereitet . Kannst du etwas dazu sagen ?

  mfg Georg

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Hier die Korrektur : $$F(x) = x^2-2x-3$$ Damit bleiben Ableitung und Nullstellen wie ich es vorhin beschrieben habe. Damit ist die erste Frage (These) widerlegt. Und falls die Integralgrenzen gemeint wären, wäre die Frage falsch gestellt. Und selbst wenn, so liefert die cosinus-Funktion ein schönes Gegenbeispiel : $$\int_0^{2\pi}{cos(x)dx}=0$$ Aber: $$cos(2\pi)=1$$ Zu allen Spezialfällen, in denen aus F(x) =0 auch f(x) =0 folgt kann ich leider keine Stellung beziehen. Aber der Fall der Polynome wurde ja bereits von Lu geklärt.

Answer 2

Da in der Frage nicht angegeben ist für welche x, F(x) Null ist: 

Annahme Stammfunktion F(x) = 0 für alle x ∈ℝ.

==> f(x) = F ' (x) = 0 für alle  x ∈ℝ.

Also meine Frage genau ist, wenn das Integral einer Funktion an der stelle x, gleich null ist, bedeutet das gleich das die Funktion an der Stelle = 0 ist?

Meinst du: Wenn die Stammfunktion von f(x) an einer Stelle xo eine Nullstelle hat, ist f(xo) an dieser Stelle 0?
Das gilt nur, wenn die Stammfunktion an dieser Stelle eine horizontale Tangente hat; das wäre dann die x-Achse.