Anzahl möglicher Summenbildungen aus 1-en und 2-en

Question

Ich möchte für eine Zahl n die Anzahl der Möglichen Kombinationen von 1-en und 2-en, die in der Summe n ergeben, berechnen. Wie leite ich am besten hierfür eine Formel ab? Für kleine Zahlen kann ich das noch durch ausprobieren hinbekommen, aber was ist mit größeren n über 1000?

Beispiel:

n = 7
21 mögliche Kombinationen

1+1+1+1+1+1+1
1+1+1+1+1+2
1+1+1+1+2+1
1+1+1+2+1+1
1+1+2+1+1+1
1+2+1+1+1+1
2+1+1+1+1+1
1+1+1+2+2
1+1+2+1+2
1+2+1+1+2
2+1+1+1+2
1+1+2+2+1
1+2+1+2+1
2+1+1+2+1
1+2+2+1+1
2+1+2+1+1
2+2+1+1+1
1+2+2+2
2+1+2+2
2+2+1+2
2+2+2+1

Comments

Ich vermute, dass etwas in dieser Richtung stimmen könnte, aber ich weiß nicht, ob es noch einfacher geht...

Answer 1

Bei sieben könnte man rechnen

(7 über 0) + (6 über 1) + (5 über 2) + (4 über 3) = 21

Bei 1000 würde es lauten

(1000 über 0) + (999 über 1) + (998 über 2) + ... + (500 über 500) =

Ausrechnen lass ich das jetzt aber mal Wolframalpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_(n%3D500)^1000+binom(n%2C1000-n)

Comments

Bild ergänzt, falls wolframalpha irgendwann mal down ist :)