Grenzwert von Reihen bestimmen: ∑cos(kx)e^{-kx} und ∑sin(kx)e^{-kx} für x>0.

Question

Berechne die Grenzwerte

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty 0} \cos (k x) e^{-k x} \) und \( \sum \limits_{k=0}^{\infty 0} \sin (k x) e^{-k x} \)

für x > 0.

Ich habe versucht mit der Identität e^ix = cos x + i sin x zu arbeiten, bin aber nicht weiter vorangekommen.

Answer 1

Die beiden Reihen sind Real- resp. Imaginarteil der Reihe $$ \sum_{k=0}^\infty e^{ikx}e^{-kx}= \sum_{k=0}^\infty e^{kx(i-1)} $$ und das laässt sich mittels geom. Reihenformel berechnen.