Zeige, dass F(x) := ∑sin(kx)/k² von k=1 bis unendlich konvergiert

Question

Aufgabe:

Zeige, dass

F(x) := ∑sin(kx)/k²

(d.h die Folge der Partialsummen Fn(x) := ∑ sin(kx)/k² von k=1 bis n) auf ganz R gleichmässig konvergiert, und dass F(x) stetig ist und periodisch mit F(x) = F(x +2Pi). Fertige einen Computerplot einer Partialsumme Fnx) für zB n = 10 (oder grösser) an, auf dem Intervall x ∈ (-10,10)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass das eine alternierende Reihe ist wegen dem sinus im Zähler, und dass die Folge mit steigendem k eine Nullfolge ist, d.h wird es wohl konvergieren (Leibniz-Kriterium), aber reicht das als Beweis für eine gleichmässige Konvergenz und wie zeige ich, dass etwas stetig und periodisch ist?

Answer 1

Hallo

gleichmäßig konvergiert: für alle x  gibt es dasselbe n ab dem die summe -GW <epsilon.

wenn eine Funktionenfolge stetiger fn glm konvergiert ist die Grenzfunktion stetig.

periodisch: jeder Summand ist 2pi periodisch sin(k(x+2pi)=sin(kx)

die Reihe ist nicht für alle x alternierend wieso auch. aber  sogar die summe der Beträge konvergiert wegen |sin(kx)|≤1 und summe 1/k^2 konvergiert als Majorante.

Gruß lul

Comments

Ja das mit dem Leibniz war dumm, macht mit der Majorante viel mehr Sinn.
Den Rest verstehe ich leider nicht.

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Hallo

aasgenau am Rest verstehst du nicht? Lies gleichmäßige Konvergenz nach?

Gruß lul