Ermitteln Sie die Richtung ihres gemeinsamen Normalenvektors.

Question

\( G_{1}:=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid \exists s \in \mathbb{R}: x=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)\right\} \)
\( G_{2}:=\left\{x \in \mathbb{R}^{3} \mid \exists t \in \mathbb{R}: x=\left(\begin{array}{c}-5 \\ 13 \\ 16\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)\right\} \)

Aufgabe: Ermitteln Sie die Richtung ihres gemeinsamen Normalenvektors.

Text erkannt:

4

Ich habe die hier mal gezeichnet. Ich soll ja den Vektor bestimmen, der beiden berührt und das im Winkel von 90 Crad.

Aber die stehen nicht so gegenüber, dann die sich im 90 Crad Winkel schneiden könnten.

Wie kann ich das machen?

Answer 1

N = [2, 1, 2] ⨯ [1, 0, 4] = [4, -6, -1]

Ich mache noch mal Gerade, die die beiden anderen Geraden senkrecht schneidet.

[1, 2, 0] + r·[2, 1, 2] = [-5, 13, 16] + s·[1, 0, 4] + t·[4, -6, -1] --> r = -1 ∧ s = -4 ∧ t = 2

n: X = [-5, 13, 16] - 4·[1, 0, 4] + t·[4, -6, -1]

n: X = [-9, 13, 0] + t·[4, -6, -1]

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=gerade(1%7C2%7C0%203%7C3%7C2)%0Agerade(-5%7C13%7C16%20-4%7C13%7C20)%0Agerade(-9%7C13%7C0%20-5%7C7%7C-1)

Comments

Danke.

Wie kommen sie auf r = -1 ∧ s = -4 ∧ t = 2 ?

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Du hast ein lineares Gleichungssystem. Also drei Gleichungen mit 3 Unbekannten. Das kann bereits ein guter Taschenrechner berechnen.

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Ok verstehe. Aber warum reicht es denn nicht, wenn ich den Punkt  [4, -6, -1] angebe. Warum hast du n: X = [-9, 13, 0] + t·[4, -6, -1] angegeben?

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Für die Richtung würde [4, -6, -1] bereits auslangen.

Die Gerade habe ich dir nur berechnet damit du das in die Skizze einzeichnen kannst.

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=gerade(1%7C2%7C0%203%7C3%7C2)%0Agerade(-5%7C13%7C16%20-4%7C13%7C20)%0Agerade(-9%7C13%7C0%20-5%7C7%7C-1)

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Danke dir. Mit der Skizze bekommt man ein ganz anderes Bild von der Sache!