Aloha :)
Wenn du einen Normalenvektor \(\vec n\) einer Ebene kennst und zusätzlich einen Punkt \(A\) in der Ebene, lautet eine mögliche Normalengleichung für alle Punkte \(\vec x\) in der Ebene:$$E\colon\;\vec n\cdot \vec x=\vec n\cdot\vec a$$Die rechte Seite kannst du ausrechnen, weil ja \(\vec n\) und \(\vec a\) bekannt sind. Die linke Seite kannst du mit Hilfe der Koordinaten schreiben:$$E\colon\;\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\vec n\cdot \vec a$$$$E\colon\; n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3=\vec n\cdot \vec a$$
Diese Darstellung ist nicht eindeutig, weil du ja beide Seiten der Gleichung mit einer beliebigen Zahl \(\ne0\) multiplizieren kannst, ohne dass sich die Lösungen \(\vec x\) ändern.
Wenn du nun den Normalenvektor \(\vec n\) auf die Länge \(1\) normierst, erhältst du die Hesse'sche Normalform.
