Lösungsweg von dieser Aufgabe: (4m^2 - 4m +1)/(6m^2 - m -1)

Question

Ich würde gerne den Lösungsweg von der Aufgabe erfahren.

\( \frac{4 m^{2}-4 m+1}{6 m^{2}-m-1} \)

Der obere Teil ist ein Binom, aber der untere nicht und somit frage ich mich, wie ich diese Aufgabe lösen kann.

Comments

" Der obere teil ist ein Binom ". Kann ich nicht erkennen.
Sag mal welches.

Es geht darum den Ausdruck zu vereinfachen. Ja ?
So ist es nur ein Term in dem für " m " alle Werte eingesetzt
werden können.

mfg Georg

---

ja man sollte alles kürzen

Der obere Teil ist doch das zweite Binom oder?

---

Der Zähler ist ein Binom. Ich habe dies nicht erkannt.

Answer 1

 (4m^2 - 4m +1)/(6m^2 - m -1)

= - (1-2m)^2 / (1 + m - 6m^2)          |Vieta (vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Vieta )
= -(1-2m)^2 / ((1+3m)(1-2m) )      | Somit m≠-1/3 und m≠1/2
                                     | kürzen   

= -(1-2m) / (1+3m)    

= (2m-1)/ (1+3m)      , wobei m≠1/2
 

Comments

Das ich das richtig verstehe.

Darf man bei +1 immer quadrieren

also bei diesem Beispiel

 

(4m² - 4m + 1) ist das gleiche wie ( 4m² - 4m +1²)

und wenn das stimmt wie sieht es dann mit minus 1 aus?

Darf man das dort auch z.B.

(6m² -m -1) ist das gleiche wie ( 6m -m -1²)??? 

( und wie sieht es bei anderen Zahlen aus die nicht 1 sind z.B. 5 oder 7)?

 

Ich hoffe Sie verstehen meine Frage.

---

Ja. 1 ist immer 1^2.

( 6m^2 -m -1²) = -(1^2 + m - 6m^2)

und nun Ansatz: -(1 + ....m)(1 - ...m)

(Vieta: -6 = 3*(-2))

 -(1^2 + m - 6m^2) = - (1+3m)(1-2m) könnte klappen.

Jetzt noch das Minus in eine der Klammern nehmen:

 - (1+3m)(1-2m)= (1+3m)(2m-1)  

Vielleicht 'siehst du das auch direkt, wenn du 1 ein +1 und ein -1 in den Ansatz schreibst. 

( 6m^2 -m -1²) = (3m+1)(2m-1)

Grund hier: -1 = (-1)*(1)

Schau vielleicht mal noch welche 'alternate forms' WolframAlpha' zu deinem Term angibt. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+6m%5E2+-m+-1%5E2%29

Answer 2

Inzwischen rechne ich auch gerne mit Vieta. Während der Schulzeit konnte ich das aber nicht gut. Da hab ich das dann immer über die Nullstellen mit der abc- oder pq-Formel gemacht

(4·m^2 - 4·m + 1) / (6·m^2 - m - 1)

Im Zähler kann man die binomische Formel direkt anwenden

(2·m - 1)^2 / (6·m^2 - m - 1)

Nullstellen des Nenners über abc-Formel

6·m^2 - m - 1 = 0

a = 6 ; b = -1 ; c = -1

m = (- b ± √(b^2 - 4·a·c)) / (2·a)

m = (- (-1) ± √((-1)^2 - 4·(6)·(-1))) / (2·(6))

m = (1 ± √25) / (12)

m1 = (1 - 5) / 12 = -1/3
m2 = 1/2

(2·m - 1)^2 / (6·(m + 1/3)·(m - 1/2))

Wenn man will jetzt die 6 in die Faktoren 2 und 3 aufteilen und in die Klammer ziehen.

(2·m - 1)^2 / ((3·m + 1)·(2·m - 1))

Da man nach Nennung der abc-Formel diese direkt mit dem Taschenrechner anwenden darf ist das meist ein sehr günstiges Verfahren.

Comments

Sollte man nicht  2·m - 1  kürzen, falls  m ≠ 1/2  ist?

---

Ja. Mir ging das hier nur um die Aufteilung in die Binome.

Das man das dann kürzen kann ist denke ich offensichtlich und ist ja auch schon in den anderen Antworten gemacht worden. Da brauch ich das Rad ja nicht nochmal neu erfinden. Wie gesagt hatte ich in der Schule damals immer Probleme mit dem Satz von Vieta und habe das lieber über die Lösungsformel gemacht. Heutzutage verwende ich auch öfter den Satz von Vieta.

Mir ging es also nur darum, hier eine brauchbare Alternative aufzuzeigen.

---

Ich verstehe nicht wie Sie von diesem Ergebnis...

m1 = (1 - 5) / 12 = -1/3
m2 = 1/2

----------------------------------

..auf die Rechnung gekommen sind.

(6·(m + 1/3)·(m - 1/2))

 

 - m1 ist ja -1/3 und m2 ist doch +1/2 und woher kommt die 6?

-------------------------------------------------------------------------------------------

Und wie kommen Sie von dieser Rechnung..

(6·(m + 1/3)·(m - 1/2))

 

6m + 2 * (m - 1/2 ) = 6m²-3m + 2m -1  = 6m² -m - 1 ?

..auf das Resultat=  ((3*m + 1) * (2*m -1))???

---

Hat mein eine beliebige quadratische Funktion
f(x) = ax^2 + bx + c die ihre Nullstellen bei n1 und n2 hat, dann kann man die Funktion immer in der faktorisierten Form

f(x) = a(x - n1)(x - n2)

schreiben.

Hat man zuanfang den Faktor a vor dem x^2 so muss dieser Faktor auch am ende vor den Klammern stehen. Denn die Klammern liefern beim ausmultiplizieren nur x^2.

Die Nullstellen stehen dann in der Klammer mit umgekehrtem Vorzeichen. Das liegt dran wenn ich für x die Nullstelle einsetze wird dann die entsprechende Klammer genau null.

---

(6·(m + 1/3)·(m - 1/2))

= (3·2·(m + 1/3)·(m - 1/2))

= (3·(m + 1/3)·2·(m - 1/2))

= ((3·m + 3·1/3)·(2·m - 2·1/2))

= ((3·m + 1)·(2·m - 1))

Jetzt alles klar?

Answer 3

$$\frac{4m^2-4m+1}{6m-m-1}=\frac{(2m-1)^2}{(2m-1)(3m+1)}$$ nach bin. Formel bzw. Vieta.

Answer 4

2 ( 2m -1)*( m - 1/2 )  /  ( 3m +1) * (2m - 1)   , Kürzen !

2 (m - 1/2)  / 3  ( m+1)  =  2m -1 /  3m +1  !!