Bogenlänge Integration. ∫(1+x)^{1/2} dx = 2/3(1+x)^{3/2} + C. Warum?

Question

Hallo ich habe eine Frage bezüglich Bogenlänge und Integration ich verstehe nicht wie er im Heft dann auf das gelbe Ergebnis kommt

Mit \( f(x)=\frac{2}{3} \cdot \sqrt{x^{3}}=\frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} \) ist
\( f^{\prime}(x)=\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x} \)

Folglich ist \( \left(f^{\prime}(x)\right)^{2}=\sqrt{x}^{2}=x \) und für die Bogenlänge folgt:

\( \begin{aligned} L &=\int \limits_{3}^{8} \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} d x=\int \limits_{3}^{8} \sqrt{1+x} d x=\int \limits_{3}^{8}(1+x)^{\frac{1}{2}} d x = \textcolor{#00F}{\left.\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}\right|_{3} ^{8} }\\ &=\frac{2}{3} \cdot\left(9^{\frac{3}{2}}-4^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{2}{3} \cdot\left(\sqrt{9}^{3}-\sqrt{4}^{3}\right)=\frac{2}{3} \cdot\left(3^{3}-2^{3}\right)=\frac{2}{3} \cdot(27-8)=\frac{38}{3} \end{aligned} \)

Comments

Hi, mit der Substitution z := 1+x bekommst Du eine Potenzfunktion, deren Stammfunktion mit der entsprechenden Potenzregel erzeugt werden kann. So kommst Du auf das Gelbe. Diese lineare Substitution wird oft als so geläufig vorausgesetzt, dass sie nicht hingeschrieben wird.

Answer 1

Bogenlänge Integration. ∫(1+x)^1/2 dx = 2/3(1+x)^3/2 + C. 

Du kennst doch

 ∫ u^n du = 1/(n+1) u^{n+1} + C zur Integration von Potenzfunktionen.

Das darfst du auch verwenden, wenn n = 1/2. 

Mach das mal. Ausführlich darfst du zuerst u=x+1 substituieren.

Answer 2

Der hat da substituiert und wieder rücksubstituiert:

t = 1 + x -> dt/dx = 1 -> dx = dt

∫ t^(1/2) dt = (t^{1/2 + 1})/((1/2) + 1) + c = (t^3/2)/(3/2) + c = (2/3) * t^(3/2) + c

Rücksubstituieren ergibt (2/3) * (1 + x)^(3/2) + c