Bogenlänge der Funktion berechnen: f(x) = -10,61x^4 + 63,66x^3

Question

Hallo ihr lieben,

wie rechne ich hier weiter?

 ₀∫⁶ √1+(-42,44x³+190,98x²)² dx

₀∫⁶ √1+1801,15x⁶ - 16210,38x⁵ +36473,36x⁴    dx

Ist es soweit überhaupt richtig? 

Wenn ja: Ich weiß nicht, wie die Stammfunktion davon gebildet wird..

Großen Dank schon einmal!

Comments

Ich denke da wirst du dir die Zähne ausbeißen eine analytische Lösung zu finden.

Numerisch allerdings ergibt sich:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=length+-10.61x%5E4+%2B+63.66x%5E3+from+x%3D0+to+6

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Oh je .. Kann ich das nicht schriftlich ausrechnen?

Also, wenn nicht exakt, dann zumindest näherungsweise

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Ich würde das nämlich gerne schriftlich rechnen wollen

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LM,

die Frage ist ja im Zusammenhang mit deinen Inselberechnungen
zu sehen.

Tip : laß die Berechnung der Bogenlänge weg.

mfg Georg

Näherungsweise könnte man das Höhenprofil der Insel in
10 Abschnitte unterteilen und dann für jeden Abschnitt
die Wegstrecke über den Pythagoras ausrechnen.
Ich kann das gern einmal vorführen.

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Hallo Georgborn,

danke für deine Antwort. Soll ich die Bogenlänge komplett weglassen?

Es wäre super lieb, wenn Du das vorführen könntest, was du genau meinst. Wäre eine große Hilfe! :)

Danke schon im Voraus

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Du teilst dein Inselprofil in 10 ( am besten gleichmäßige )
Abschnitte auf. 6000 m / 10 = 600 m

Dann ermittelst du die Funktionswerte an den Stellen

f ( 0.6 )  = 12. 97 m
f ( 1.2 ) = 88.00 m

Höhenunterschied :
Δ y = 88.00 - 12.97 = 75.03 m
Δ x = 600 m

Die Weglänge L zwischen den Punkten ergibt sich über den Pythagoras

L^2 = (Δy)^2 + (Δx)^2 = 75.03^3 + 600^2 = 365629.5
L = 604.67 m

Dann erhältst du 10 Teil-Weglängen die du aufsummieren kannst.

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Das ganze klingt sogar sehr logisch .. Nur: wieso 6000? und warum [0,6;1,2]?

Geht das auch mit dem Prinzip der Ober - und Untersumme?

Answer 1

(-42.44x^3+190.98x^2)^2=(190.98-42.44 x)^2*x^4

zum Integral: umgeformt ergibt das

1/50 integrate sqrt(4502884 x^6-40525956 x^5+91183401 x^4+2500) dx

Da bereits Integrale der Form

∫ sqrt(x^4+a)dx = 1/3 (x sqrt(a+x^4)-2 (-1)^{1/4} a^{3/4}*EllipticF(i*asinh((-1/a)^{1/4} x),-1))+Offset

etwas mit Integralfunktion ergibt

(EllipticF hattet Ihr garantiert noch nicht -> die auch wieder mit numerischer Integration oder hypergeometrischen Funktionen berechnet wird)

bleibt nur die numerische Integration.

Der Iterationsrechner rechnet das https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Quadratur

auf 7 Stellen genau

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@Ni=0;//nach%20Gauss:%20@Ivon,bis,Formel(dx),Genauigkeit)@Nb=@I0,6,'@Q1+@P190.98-42.44*x,2)*@Px,4))',1e-7);@Ni==1@N0@N0@N#

Comments

Oh je .. Das hatten wir in der Tat noch nicht.. Aber jetzt verstehe ich auch, wieso sich der TR dort besser eignet. Danke dafür! :)

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Man kann die Kurve auch in die Parameterdarstellung wandeln und so die Grenzen beliebig wählen:

Lösungsweg2:

x(t)=t*1000  mit Laufvariable t=0...6/1000

y(t)=63.66*(t*1000)³-10.61*(t*1000)^4

wobei die Kurvenlänge = integral sqrt(x'(t)²+y'(t)²)dt

arc length {t*1000, 63.66*(t*1000)³-10.61*(t*1000)^4} from t=0 to 6/1000

= 1000* integral sqrt(1+450288400000000 (9-2000 t)^2 t^4) dt = 2900.6101053...

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@Ni=0;//nach%20Gauss:%20@Ivon,bis,Formel(dx),Genauigkeit)@Nb=@I0,6/1e3,'@Q1+450288400000000*@P9-2000*x,2)*@Px,4))',1e-10)*1e3;@Ni==1@N0@N0@N#

selbe Ergebnis.

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Du wolltest es doch schriftlich selber berechnen, dann sieh hier:

Lösungsweg 3: Simpsonregel siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Simpsonregel an den Iterationsrechner übergeben und daraus 60 kleine Teilintervalle aufsummiert (in Spalte aC ), bis die Obergrenze 6 erreicht ist:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#@Q1+@P190.98-42.44*x,2)*@Px,4))@Na=0;b=0.1;c=@C0]=0;@N@Bi]=(Fx(a)+4*Fx(a/2+b/2)+Fx(b))*(b-a)/6;c=@Ci+1]=@Ci]+@Bi];a=b;b+=0.1;@Nb%3E6@N0@N0@N#

Ist eine Nachkommastelle genau.

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Da Du noch Fragen zu georgborn hattest, hier

Lösungsweg 4: ohne Integralrechnung die Aufsummierung der Teilstrecken:

Teillänge = Wurzel(DifferenzX² + DifferenzY²)

Liegt gewaltig daneben!

Selbst wenn man 60 Teillängen aufsummiert, stimmt nicht mal die 1. Nachkommastelle (höchstens gerundet)...

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#63.66*@Px,3)-10.61*@Px,4)@Nd=6/60;a=0;b=d;c=@C0]=0;@N@Bi]=@Q@Pb-a,2)+@PFx(b)-Fx(a),2));c=@Ci+1]=@Ci]+@Bi];a=b;b+=d;@Nb%3E6@N0@N0@N#

2900.59...

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Hallo hyperg,

nicht das du dir mehr Arbeit machst als nötig.

Es handelt sich bei der Frage um den Weg eines Höhenprofils einer
Insel.

Die vom Fragesteller angegebene Formel ist falsch.
x = 1..6 km y = 0..1400 km Höhe

Die richtige Formel und das Höhenprofil der Insel sehen wie folgt aus.

Dann kommt beides in km heraus.

Werden 10 Unterteilungen berechnet ist der Weg 6.99 km
Bei 20 Unterteilungen ist der Weg 7.01 km

mfg Georg

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Wo kommt denn bitte die 1400 her? Warum kennst Du mehr Fakten als der Fragesteller?

(63.66x^3-10.61x^4)/1000,x=4.5 ergibt  grob 1.45025

Wenn das in km sein soll,dann ist das Maximum der Formel um über 50 m zu groß...

Und zu "mehr Arbeit als nötig":

die Änderung der Aufgabenstellung ist einfach im letzten LINK eine winzige Anpassung

(63.66*pow(x,3)-10.61*pow(x,4))/1000

wobei bei 60 Unterteilungen 7.01335713... herauskommt.

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Hallo HyperG,

siehe auch die zuletzt vom Mitglied gestellten Fragen " mit den Inseln ".
Besser

https://www.mathelounge.de/361959/funktionsgleichung-ganzrationalen-querschnitt-beschreibt

Dies zeigt dir die irrungen und Wirrungen.

Mfg Georg

@Fragesteller
Falls du möchtest dann stelle die Frage des Links mit Buchtext nochmals
ein " Prüfungsaufgabe Inseln Teil 2 ". Dann gehen wir die Frage Schritt für
Schritt nochmals durch.

Answer 2

die Bogenlänge dieser Funktion lässt sich analytisch nicht lösen. Du darfst aber vermutlich einen CAS-Rechner zur Bestimmung nutzen, der rechnet dir das Ergebnis näherungsweise aus.

Ergebnis: 2900 LE (wahrscheinlich Meter)

Comments

gut, dann weiß ich Bescheid! Danke :)

Answer 3

Soweit ist es richtig.   Exakt lässt sich da nichts rechnen (siehe Kommentare)

Aber Integrale kann man ja nährerungsweise berechnen .

siehe etwa

https://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung#Numerische_Verfahren

Das gibt aber viel Rechnerei.

Comments

Okay, danke für die Antwort :)!