Lösen der Gleichung 3+p^2 = 5/(p^2-1)

Question

3 + (p)² =  5/ ((p)² - 1)--->(p)⁴ + 2 (p)² -3= 5---> (p)² = -1+-3---> p = *, -  Wurzel 2

Auflösen nach p: Zwischenschritte: woher kommen die 2(p)²

Answer 1

3 + p² =  5/ (p² - 1)        |*(p^2-1)        ( Achtung: p≠ ±1)

(3 + p^2)(p^2-1) = 5

3p^2 + p^4 - 3 - p^2 = 5

(3-1)p^2 + p^4 - 8 = 0

p^4 + 2p^2 - 8 = 0           |-8 = (4)*(-2)      faktoriseren

(p^2 + 4)(p^2 - 2) = 0

Erster Faktor kann nicht 0 sein.

Zweiter Faktor 0 heisst.

p^2 = 2       |√

p = ±√2

Kontrolle in 3 + p² =  5/ (p² - 1) 

3 + 2 = 5/(2-1) stimmt.

Comments

Echt heavy mit dem faktorisieren. vielen dank

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Bitte. Gern geschehen.

Es ginge auch mit Substitution x = p^2 und der Formel zur Auflösung von quadratischen Gleichungen. Der Schreibaufwand ist dann einfach relativ gross. LANG RICHTIG anschauen und faktorisieren ist in diesem Fall bequemer.

Answer 2

Mach es so:

$$ 3+p^2 = \frac{5}{p^2} - 1 \quad | /p^2 \text{ auf beiden Seiten } $$

$$ 3 p^2 + p^2 \cdot p^2 = 5-p^2 \quad | +p^2 \text{ auf beiden Seiten } $$

$$ 4 p^2 + p^4 = 5 $$

Jetzt wird abgeschätzt: p muss kleiner als 2 sein. Sonst wäre 4 p^2 + p^4 > 5.

Also muss p=1. Alles klar? ;-)

Edit: Ja war falsch, +,- 1 soll da hin.

Edit2: Wenn der/die Aufgabensteller/in die Aufgabe so gemeint hat, wie sie jetzt da steht, ist die Antwort falsch.

Comments

Du meinst sicher:

3 + (p)² =  5/ (p)² - 1       |*p^2

3p^2 + p^4 = 5 - p^2

Hast vielleicht noch Bearbeitungszeit.

Könnte aber sein, dass der Fragesteller den Nenner nicht korrekt geklammert hat.

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Oo Das ist nicht richtig. Multipliziere nochmals p^2 auf beiden Seiten. Achte darauf jeden Summanden zu verarbeiten!!

Selbst das Ergebnis ist unvollständig. p = ±1 in Deinem Fall!!


Nun, bei Deiner Interpretation der Aufgabe kommt tatsächlich (zufällig) das von mir verbesserte reelle Ergebnis raus. Ich befürchte aber ohnehin, dass

3+p^2 = 5/(p^2-1)

gemeint war.


Grüßle

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Nochmals ich ^^.

Die Abschätzung ist keine Argumentation. Das funktioniert vielleicht unter der Annahme p ∈ ℕ. Zielführend wäre viel eher die Substitution.

 

Zudem fehlt weiterhin p₂ = -1.

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Iwie verhau ich heute vieles ^^ Artikel verhauen, Antwort falsch^^ dann klappt heute der rest auch nicht sonderlich gut^^ entschuldigt die antwort :|

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Na eine Antwort war doch heute super .-)

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Ja ;-) eine war gut heute..

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Wenn natürliche oder ganzzahlige Lösungen gesucht sind, ist dein Abschätzverfahren hier durchaus brauchbar und eine nützliche Methode. Ausserdem ist dein Artikel auch interessant. Kai kann dort bestimmt die allenfalls verwirrenden Kommentare noch löschen, wenn dann noch ein Bild dazukommt und die Korrektur fertig ist.

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Ja, mein Weg bringt nur etwas, wenn natürliche Zahlen gesucht sind, das stimmt.

Zum Artikel: Mit den Bildern werd ich mal gucken, und gegebenenfalls den Artikel mit einem Beispiel ändern. Aber ohne Bild ist es schwer ein Beispiel zu geben... Da wüsste ich nicht wie ich das tun sollte.

Answer 3

( 3+p²)  * (  p² -1 ) =  3p² + p⁴ -3 - p²  -----> 3p² - p² =  2p²  !

p⁴ + 2p² -3

Comments

\( A\left(p^{*}\right)=N\left(p^{*}\right) \Rightarrow 3+\left(p^{*}\right)^{2}=\frac{5}{\left(p^{*}\right)^{2}-1} \Rightarrow\left(p^{*}\right)^{4}+2\left(p^{*}\right)^{2}-3=5 \Rightarrow \)
\( \left(p^{*}\right)^{2}=-1 \pm 3 \Rightarrow p^{*}=\pm \sqrt{2} \)

Kann nach dem → deiner Lösung leider nicht folgen.