Integral, Partialbruchzerlegung, Substitution

Question

hallo an alle.

Ich habe folgendes Integral und komme nicht weiter.

\( \int \frac{d x}{\sqrt{x^{3}}+4 x+8 \sqrt{x}} \)

ich habe folgende Substitution durchgeführt: √x =t

\( 2 \int \frac{d t}{t^{2}+4 t+8} \)

Nun habe ich komplexe Nullstellen. Hab nun Partialbruchzerlegung durchgeführt. Rücksub. komme aber nicht aufs richtige Ergebnis. Ich mach irgendwo einen Fehler und finde ihn nicht, wahrscheinlich ist mein Ansatz schon falsch! ?

Wäre schön, wenn mir jemand ein Tipp geben kann.

Comments

Hm. Wolfram Alpha sagt:

"No result founds in terms of standard mathematical functions" http://m.wolframalpha.com/input/?i=%5Cint+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E3%7D%2B4x%2B8%5Csqrt%7Bx%7D%7D+dx&incCompTime=true

Wo hast du das her?

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Hi, die Substitution ist richtig. Wie sieht es denn mit Deiner Partialbruchzerlegung aus?

Answer 1

Hi,

das mag an den arctan erinnern. Dafür musst Du dies auf die Form

$$\frac{1}{u^2+1} $$

bringen. Das bekommt man hin, wenn man den Nenner schreibt als (t+2)²+4 und dann substituiert.

Ich komme damit letztlich auf

$$\int\frac{2}{t^2+4t+8} dt = arctan\left(\frac{t+2}{2}\right) + c$$

 

Nun nur noch resubstituieren.

 

Wenn Du noch Hilfe brauchst beim Integral, so gib Bescheid. Du scheinst mir aber nur einen Anstoß gebraucht zu haben, da Du sonst ja schon gut vorgelegt hattest :).

 

Grüße

Answer 2

Wenn du nur komplexe Nullstellen erhältst, ist eine Partialbruchzerlegung nutzlos, da man sich im Kreis dreht.

In der Tat sollte man hier auf die Form der Stammfunktion vom arctan bringen und dann über die lineare Substitution (ax + b) das Integral lösen!