Hi,
Zitat von Comiq
Was ist eine Ableitung? Wofür braucht man es? und was hat es mit der tagente zutuhn?
Eine Ableitung hilft dir, die Steigung eines Graphen an einer beliebigen x-Koordinate zu bestimmen.
Du bildest die Ableitung und setzt in diese dann den x-Wert ein. Das "Ergebnis" ist die Steigung.
Mit der Tangente hat es deshalb zu tun, weil die Tangente an einem "kurvenförmigen" Graph immer dieselbe Steigung wie der Graph an der Stelle hat, an dem die Tangente anliegt.
Die Steigung des Graphs ist also mit der Steigung der Tangente identisch.
Willst du noch mehr wissen?
Ergänzung vom 07.06.2009 01:25:
OK. Du hast es nicht anders gewollt! Jetzt bekommst du die Herleitung:
Zeichne dir ein Koordinatensystem. Dann darein die Funktion f(x)=x².
Jetzt zeichnest du irgendwo auf den Graphen einen Punkt (irgendwo für einen positiven x-Wert), den nennst du P(x; f(x)). Jetzt gehst du etwas nach rechts und zeichnest den Punkt Q(x1; f(x1)) auf den Graphen.
Jetzt versuch mal, dir das ganze anzugucken.... und erst dann versuche, die nächsten Schritte nachzuvollziehen.
Du hast jetzt irgendwo die Koordinate "x" auf der x-Achse (markiere sie dir auf der Achse selbst) und rechts daneben die Koordinate "x1" (auch die markierst du dir).
Der Abstand auf der x-Achse zwischen den beiden nenne wir h.
Kannst du nachvollziehen, dass x1=x+h ist? - Das wäre verdammt praktisch, wenn du das auf Anhieb verstehen würdest!
Nun wissen wir schon, dass Q die Koordinaten (x+h; f(x1)) hat. Für f(x1) können wir jetzt auch f(x+h) setzen - (x+h) ist ja x1.
Haben wir also die beiden Punkte:
P(x; f(x))
Q(x+h; f(x+h))
Jetzt stell dir eine Gerade vor, die die Punkte P und Q verbindet (zeichne sie ruhig ein). Was wäre die Steigung dieser Sehne?
Wenn du zwei Punkte hast, ist die Steigung der Gerade, die diese verbindet immer:
m= (y2-y1)/(x2-x1) - (Das weißt du von früher!)
In diesem Fall also:
m= [f(x+h)-f(x)] / [(x+h) - x]
Jetzt gehen wir an den Anfang zurück. Wir haben gesagt, dass f(x) = x² ist. f(x+h) ist demnach dann (x+h)² - kannst du folgen?
Setzen wir das also ein:
m = [(x+h)²-x²] / [x+h-x]
Das vereinfachen wir jetzt:
m = [x²+2xh + h² - x²] / [h]
m = [h²+2xh]/h
m = h + 2x
Bisher haben wir nur die Gleichung für die Steigung unserer Sehne vereinfacht. Jetzt haben wir aber das Problem, dass die Sehen nicht gleich der Steigung des Graphs am Punkt P (bzw. gleich der Steigung der Tangente am Punkt P) ist.
Stimmst du zu, dass die Steigung m immer ähnlicher zur Tangentensteigung wird, wenn h kleiner wird? Zeichne mal ein paar alternative Punkte auf den Graph, die näher an P liegen, als Q es tut. Dann leg dein Lineal an und du wirst sehen, dass je kleiner h (also der Abstand zwischen x und x+h wird) wird, die Steigung m sich der Tangentensteigung annähert.
Was wäre, wenn h jetzt gleich 0 wäre?
Lassen wir h zu 0 tendieren (h-->0 - normal benutzt man hier die limes-Schreibweise)
m = h + 2x
m = 0 + 2x
m = 2x
Diese Steigungsfunktion bezeichnen wir nun als Ableitung f'(x). Wir hatten usprünglich:
f(x)=x²
und nun:
f'(x)=2x
Wenn du hier einen x-Wert einsetzt, erhältst du immer die Steigung der Funktion an dieser x-Koordinate.
z.B. bei x=4 ist die Steigung m der Funktion gleich f'(4)=2*4=8
Jetzt das ganze noch allgemein. Du kannst nicht nur f(x)=x² ableiten, sondern ziemlich viele Funktionen.
Allgemein gilt dabei:
f(x)=xn
f'(x) = n*xn-1
Ich hoffe, das hat dir geholfen und du konntest mir folgen.
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Zitat von GunShip.
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