$$\Huge{ \text{Pi ; } \pi}$$
Wohl jeder kennt oder hat bereits von der Zahl "pi" gehört. Diese Zahl hat für unzählige Skandale gesorgt, die kleine, aber in gewisserweise doch so riesige Zahl π.
$$\large{\texttt{Definition 1:}}$$
π = U : d, das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises.
Pi ist also schlichtweg nur das Verhältnis des Umfang und des Durchmessers eines Kreises. π ist ein griechischer Buchtabe, genau wie α, β, γ, usw.
Pi ist eine irrationale Zahl.
$$\large{\texttt{Definition 2:}}$$
Eine reelle Zahl heisst irrational, wenn man sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben kann. Weiter ist die dezimale Darstellung einer irrationalen Zahl unendlich, sie bricht nicht ab und ist nicht periodisch.
Nein, Pi ist nicht periodisch. Mittlerweile sind mit den besten Computern bereits über 4 Milliarden(!) Nachkommstellen berechnet worden, ohne, dass man irgendein System erkennen konnte. Ich zeige Euch hier mal eine Kurzform(!) des Beweises von Johann Heinrich Lambert, dass Pi irrational ist:
$$\forall x \in \{x : x \in \mathbb Q, x \not= 0\} \quad \Rightarrow \quad \tan x \notin \mathbb Q \\ \tan (\frac{\pi}{4}) = 1 \in \mathbb Q \quad \Rightarrow \quad \frac{\pi}{4} \notin \mathbb Q \Rightarrow \pi \notin \mathbb Q \quad \quad \text{q.e.d.}$$
Falls der Beweis nicht verstanden wurde, das macht nichts, es wurden ja auch viele Schritte ausgelassen. Den gesamten Beweis hier niederzuschreiben halte ich für sinnlos, da er 1. sehr kompliziert ist und 2. auch sehr lang ist. Natürlich werden aus Pi's Irrationalität direkt spannende und hochinteressante Dinge entwickelt, interessant auch für Bürger, die die trockene Materie weniger interessiert, sondern für die die weniger abstrakte Mathematik am interessantesten ist. Beispielsweise wurde ein Computerprogramm entwickelt, da muss man bloss sein Geburtsdatum angeben und nach dem "Enter" wartet man auf das Resultat: Ist das angegebene Datum betrachtet als Ziffernfolge ein Teil von Pi's Nachkommastellen? Noch nie irrte sich der Computer und die Antwort "Nein" schien in seinem Wortschatz nicht zu existieren.
Doch damit nicht genug: Es wird sogar vermutet, dass Pi eine "normale" Zahl ist. Normal, wie wir es aus dem Alltag kennen, ist Pi sicher nicht, die Mathematiker haben ein Fachwort entwickelt, das eine eigentlich unnormale Zahl mit dem Wort "normal" bezeichnet:
$$\large{\texttt{Definition 3:}}$$
Eine Zahl ist "normal", wenn in ihr jede beliebige Abfolge von Ziffern enthalten ist. Dafür muss die Zahl automatisch unendlich viele Nachkommstellen haben.
Das bedeutet, dass wenn man sich irgendeine x-beliebige Ziffernfolge ausdenkt, egal wie lang, dann ist sie stets ein Teil von Pi's Nachkommstellen. Das ist schwer vorzustellen. Aber bewiesen oder widerlegt wurde dies noch nicht. Diese Vermutung zu beweisen oder widerlegen zählt zu den ungelösten Problem der Mathematik. Über die Irrationalität hinaus ist Pi transzendent.
$$\large{\texttt{Definition 4:}}$$
Eine Zahl a heisst transzendent, wenn es kein Polynom p(x) = an * xn + an-1 * an-1 + ... + a1 * x + a0 gibt, mit p(a) = 0. Dabei muss n>0, an ≠ 0, ak ∈ ℤ..
Die Transzendenz von Pi ist sehr wichtig für die Mathematik gewesen. Folgen waren u.a., dass Pi sich unmöglich nur mit ganzen Zahlen, Brüchen und Wurzeln ausdrücken lässt. Und daraus wiederum folgt, dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.
Kettenbrüche:
Einer der bekanntesten Kettenbrüche für Pi ist:
$$\Large{\pi = \frac{4}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{...}}}}}}$$
Wenn man bis zu einer bestimmten Stelle ausrechnet hat man einen Näherungswert. Je mehr man ausrechnet, desto besser ist auch die Näherung.
Pi-Sport
Ebenfalls erstaunlich ist der sogenannte Pi-Sport. Bei ihm muss man möglichst viele Nachkommstellen von Pi auswendig kennen. Aus dem Pauken und auswenig lernen von Pi's Nachkommstellen ist ein Sport geworden. Der offizielle Weltrekord im Pi-Sport liegt bei 67.890 Nachkommastellen welche der Chinese Chao Lu fehlerfrei in 24h und 4min aufgesagt hat. Das ist unglaublich viel! Der inoffizielle Weltrekord liegt bei 100.000 Nachkommstellen, aufgestellt von Akira Haraguchi.
Anwendung im Alltag:
Jeder hat schon mal Pi-mal-Daumen gerechnet, weil das oft praktischer ist, als bei komplizierteren Rechnung das exakte Ergebnis auszurechnen. Wo man Pi oft braucht im Alltag ist noch die Flächenberechnung des Kreises. Oder eher einen Schätzwert von Pi: π * r2 = A (Fläche des Kreises).
So, ich wollte Euch mal mit den Unglaublichkeiten der Zahl Pi bekannt machen, obwohl das nur ein winziger Teil war, ist er riesig erstaunlich.
