Man multipliziere die Wurzel: √(a-√(a^2-b^2))*√(a+√(a^2-b^2))

Question

Hier die Aufgabenstellung direkt mit meinem Lösungsweg:
$$ \sqrt{a-\sqrt{a^2-b^2}}*\sqrt{a+\sqrt{a^2-b^2}} $$$$=(\sqrt{a}-\sqrt[4]{a^2-b^2})(\sqrt{a}+\sqrt[4]{a^2-b^2})$$$$=a-\sqrt[4]{a^2-b^2}$$$$=a(\sqrt[4]{(a^2-b^2)^2})$$$$=a(a^4-2a^2b^2+b^4)^{\frac{1}{4}}$$$$=a^2-a(2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}})+b$$$$=a^2-2a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}}+b$$$$=a^2-\sqrt{2a^3b}+b$$

die Lösung soll aber heißen: $$b$$

 ,

lg, Subis ;)

Answer 1

Hi,
wenn du zwei Wurzeln multiplizierst, dann kannst du das was unter der Wurzel ist mit dem was unter der anderen Wurzel ist mutiplizieren und unter eine Wurzel schreiben.

$$\sqrt{a - \sqrt{a^2-b^2}} \cdot \sqrt{a + \sqrt{a^2 - b^2}} = \sqrt{ (a - \sqrt{a^2 - b^2}) \cdot (a + \sqrt{a^2 - b^2})}$$

Wende die 3. binomische Formel an: $$a^2 - b^2 = (a-b) \cdot (a+b)$$

Alles klar? ;)

Comments

ahhh vielen dank das habe ich glatt beim übersehen das hier das dritte binom anwendbar ist :D
vielen vielen dank hast mir damit auf jeden fall weitergeholfen ;)

lg Subis

Answer 2

Hi Subis,

beachte bitte, dass Du bei einer Summe die Wurzel nicht einfach aufteilen darfst!

Hier aber kannst Du die dritte binomische Formel bemühen :).

$$\sqrt{a-\sqrt{a^2-b^2}}*\sqrt{a+\sqrt{a^2-b^2}}$$

$$= \sqrt{(a-\sqrt{a^2-b^2})(a+\sqrt{a^2-b^2})}$$

$$= \sqrt{a^2-(\sqrt{a^2-b^2})^2}$$

Beachte die Minusklammer!

$$= \sqrt{a^2-a^2+b^2} $$

$$=\sqrt{b^2}$$

$$=b$$

Grüße

Comments

vielen dank ich habe, es jetzt verstanden :)
danke für deine hilfe,
lg Subis