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hier bin ich folgendermaßen vorgegangen:

sin(α)=1cos2(α)=1k sin(\alpha) = \sqrt{1-cos^2(α)} =\frac{1}{k}

1cos2(α)=1k\sqrt{1-cos^2(α)}= \frac{1}{k}

1cos2(α)=1k21-cos^2(\alpha)=\frac{1}{k^2}

k2k2cos2(α)=1k^2- k^2 \cdot cos^2(\alpha)=1

k21k=cos(α)\frac{\sqrt{k^2-1}}{k}=cos(\alpha)




sin(α)=tan(α)1+tan2(α)=1k sin(\alpha) = \frac{tan(\alpha)}{\sqrt{1+tan^2(α)}}=\frac{1}{k}

tan(α)1+tan2(α)=1k\frac{tan(\alpha)}{\sqrt{1+tan^2(α)}}=\frac{1}{k}

ktan(α)=1+tan2(α)k\cdot tan(\alpha)=\sqrt{1+tan^2(α)}

k2tan2(α)=1+tan2(α)k^2\cdot tan^2(\alpha)=1+tan^2(α)

k2tan2(α)tan2(α)=1k^2\cdot tan^2(\alpha)-tan^2(\alpha)=1

tan2(α)(k21)=1tan^2(\alpha)\cdot(k^2-1)=1

tan(α)=1(k21)tan(\alpha)=\sqrt{\frac{1}{(k^2-1)}}

tan(α)=1k21tan(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}




sin(α)=11+cot2(α)=1ksin(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{1+cot^2(\alpha)}}=\frac{1}{k}

11+cot2(α)=1k\frac{1}{\sqrt{1+cot^2(\alpha)}}=\frac{1}{k}

k2=1+cot2(α)k^2=1+cot^2(\alpha)

k21=cot(α)\sqrt{k^2-1}=cot(\alpha)



Ist das ganze so recht optimal gelöst oder habe ich es mir unnötig schwer gemacht? 

ich habe dazu eine Tabelle zur hilfe genommen:Bild Mathematik

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Ein anderer Weg um das tan(a) und cot(a) zu berechnen ist der folgende: 


tan(a)=sin(a)cos(a)=1kk21k=1k21\tan(a)=\frac{\sin(a)}{\cos(a)}=\frac{\frac{1}{k}}{\frac{\sqrt{k^2-1}}{k}}=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}


cot(a)=cos(a)sin(a)=k21k1k=k21\cot(a)=\frac{\cos(a)}{\sin(a)}=\frac{\frac{\sqrt{k^2-1}}{k}}{\frac{1}{k}}=\sqrt{k^2-1}

oder

cot(a)=1tan(a)=k21\cot(a)=\frac{1}{\tan(a)}=\sqrt{k^2-1}

Avatar von 6,9 k

ahhh so wäre es natürlich sehr viel schneller gegangen :D hätte ich nur dran denken müssen :P aber da fängts ja schon an 'ne, hätte hätte hätte :P egal, üben üben üben dann sitzt das schon ;)
danke für deine antwort ;)

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Du musst nicht unbedingt mit sin(a) = ... anfangen.

Es genügt z.B. ein Start mit sin2 a + cos2 a = 1

dann kannst du 1/k einsetzen

1/k2 + cos2 a = 1

cos2 a = 1 - 1/k2 = (k2 -1)/k2

cos(a) = ±√(1 - k2) / k

Wenn du nicht weisst, welche Werte a annehmen kann, musst du Vorzeichen beachten.

Avatar von 162 k 🚀

ahhh, gut zu wissen, das gilt wahrscheinlich für alle Additionstheoreme nehme ich mal an.

alles klar, also immer wenn ich solche umformarbeiten tätige, immer vorzeichen mitnehmen(auch ±), das merke ich mir ;)

vielen dank Lu!

Wenn nichts weiter steht, ja.

Solche Aufgaben haben aber oft zu Beginn einen Hinweis, dass a ein spitzer Winkel ist, oder so. Nur dann kannst du  dir die neg. Fälle sparen.

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