gegeben ist sin(α)= 1/k. man berechne cos(α), tan(α), cot(α)

Question

hier bin ich folgendermaßen vorgegangen:

$$ sin(\alpha) = \sqrt{1-cos^2(α)} =\frac{1}{k}$$

$$\sqrt{1-cos^2(α)}= \frac{1}{k}$$

$$1-cos^2(\alpha)=\frac{1}{k^2}$$

$$k^2- k^2 \cdot cos^2(\alpha)=1$$

$$\frac{\sqrt{k^2-1}}{k}=cos(\alpha)$$

$$ sin(\alpha) = \frac{tan(\alpha)}{\sqrt{1+tan^2(α)}}=\frac{1}{k} $$

$$\frac{tan(\alpha)}{\sqrt{1+tan^2(α)}}=\frac{1}{k}$$

$$k\cdot tan(\alpha)=\sqrt{1+tan^2(α)}$$

$$k^2\cdot tan^2(\alpha)=1+tan^2(α)$$

$$k^2\cdot tan^2(\alpha)-tan^2(\alpha)=1$$

$$tan^2(\alpha)\cdot(k^2-1)=1$$

$$tan(\alpha)=\sqrt{\frac{1}{(k^2-1)}}$$

$$tan(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}$$

$$sin(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{1+cot^2(\alpha)}}=\frac{1}{k}$$

$$\frac{1}{\sqrt{1+cot^2(\alpha)}}=\frac{1}{k}$$

$$k^2=1+cot^2(\alpha)$$

$$\sqrt{k^2-1}=cot(\alpha)$$

Ist das ganze so recht optimal gelöst oder habe ich es mir unnötig schwer gemacht?

ich habe dazu eine Tabelle zur hilfe genommen:

Answer 1

Ein anderer Weg um das tan(a) und cot(a) zu berechnen ist der folgende:

$$\tan(a)=\frac{\sin(a)}{\cos(a)}=\frac{\frac{1}{k}}{\frac{\sqrt{k^2-1}}{k}}=\frac{1}{\sqrt{k^2-1}}$$

$$\cot(a)=\frac{\cos(a)}{\sin(a)}=\frac{\frac{\sqrt{k^2-1}}{k}}{\frac{1}{k}}=\sqrt{k^2-1}$$

oder

$$\cot(a)=\frac{1}{\tan(a)}=\sqrt{k^2-1}$$

Comments

ahhh so wäre es natürlich sehr viel schneller gegangen :D hätte ich nur dran denken müssen :P aber da fängts ja schon an 'ne, hätte hätte hätte :P egal, üben üben üben dann sitzt das schon ;)
danke für deine antwort ;)

Answer 2

Du musst nicht unbedingt mit sin(a) = ... anfangen.

Es genügt z.B. ein Start mit sin^2 a + cos^2 a = 1

dann kannst du 1/k einsetzen

1/k^2 + cos^2 a = 1

cos^2 a = 1 - 1/k^2 = (k^2 -1)/k^2

cos(a) = ±√(1 - k^2) / k

Wenn du nicht weisst, welche Werte a annehmen kann, musst du Vorzeichen beachten.

Comments

ahhh, gut zu wissen, das gilt wahrscheinlich für alle Additionstheoreme nehme ich mal an.

alles klar, also immer wenn ich solche umformarbeiten tätige, immer vorzeichen mitnehmen(auch ±), das merke ich mir ;)

vielen dank Lu!

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Wenn nichts weiter steht, ja.

Solche Aufgaben haben aber oft zu Beginn einen Hinweis, dass a ein spitzer Winkel ist, oder so. Nur dann kannst du  dir die neg. Fälle sparen.