Zeigen , ob Vektorprodukt linear abhängig oder orthogonal ist.

Question

Sei V = ℝ³. Das Vektorprodukt v × w zweier Vektoren v,w ∈ V ist definiert durch

$$ v \times w = \begin{pmatrix} v1\\v2\\v3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} w1\\w2\\w3 \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} v2w3 - v3w2\\ v3w1 - v1w3\\v1w2 -v2w1 \end{pmatrix} $$

a) Zeigen Sie, dass v × w = 0, falls v und w linear abhängig sind.

b) Zeigen Sie, dass v × w orthogonal zu v und zu w ist.

Answer 1

a = (a1, a2 a3)

b = (b1, b2, b3)

a x b = [a2·b3 - a3·b2; a3·b1 - a1·b3; a1·b2 - a2·b1]

a) Ist b linear abhängig zu a gilt

b = (k*a1, k*a2, k*a3)

a x b = [a2·k*a3 - a3·k*a2; a3·k*a1 - a1·k*a3; a1·k*a2 - a2·k*a1] = [0, 0, 0]

b) Ich soll zeigen, dass a x b orthogonal zu a und orthogonal zu b ist. Damit muss das Skalarprodukt jeweils 0 sein. Ich zeige das mal nur für a x b ⊥ a

[a2·b3 - a3·b2; a3·b1 - a1·b3; a1·b2 - a2·b1] · [a1, a2, a3]

= a1 · (a2·b3 - a3·b2) + a2 · (a3·b1 - a1·b3) + a3 · (a1·b2 - a2·b1)

= a1·a2·b3 - a1·a3·b2 + a2·a3·b1 - a2·a1·b3 + a3·a1·b2 - a3·a2·b1

= a1·a2·b3 - a1·a3·b2 + a2·a3·b1 - a2·a1·b3 + a3·a1·b2 - a3·a2·b1

Da sich hier die jeweiligen Terme aufheben kommt insgesamt 0 heraus.