Kern einer Matrix berechnen

Question

Wie berechnet man den Kern einer Matrix? Ich weiß, dass der Kern nur existiert, wenn die Determinante der Matrix gleich Null ist. Kann mir das jemand an folgendem Beispiel erklären?

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4 5 6

7 8 9)

Comments

Die Differenz der 1. und 2. Zeile ist gleich gross, wie jene der 2. und 3. Zeile. Darum sind die Zeilenvektoren linear voneinander abhängig. Die Determinante der Matrix ist also 0.

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"Ich weiß, dass der Kern nur existiert, wenn die Determinante der Matrix gleich Null ist."

Existiert nicht auch ein Kern wenn die Determinante ungleich null ist? In dem Fall würde doch der Kern nur aus dem Nullvektor bestehen.

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Ja, sehe ich auch so. Sommersonne sucht manchmal eine Basis des Kerns. Und das wäre dann beim Nullvektor die leere Menge.

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Erst mal danke an alle für eure Antworten. Die Aussage, dass der Kern nur existiert, wenn die Determinante der Matrix Null ist, habe ich im Internet gefunden. Existiert jetzt auch ein Kern, wenn die Determinante ungleich Null ist? Ich dachte bisher, dass dann einfach kein Kern existiert. Und was meinst du mit der Basis des Kerns, Lu? Ist das wieder etwas anderes? Bin mir doch noch sehr unsicher bei Matrizen und deren Kern.

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Hier ist die 2. Definition von https://de.wikipedia.org/wiki/Kern_(Mathematik) relevant.

Da steht nichts davon, dass der Kern nicht existiert, wenn er nur aus dem Nullvektor besteht.

Du kannst dann einfach als Basis die leere Menge angeben, wenn eine Basis verlangt war. Das kam in manchen (von deinen?) Aufgaben so vor.

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Vielleicht sollte ich nächstes mal direkt bei Wikipedia lesen. Habe die Aussage von einer anderen Seite. Ich war nur irritiert, weil du von der Basis gesprochen hattest, aber das hat sich jetzt für mich geklärt. Zu den anderen Aufgaben kann ich (noch) nichts sagen, da sie nicht von mir sind. Aber ich werde mal danach suchen und so sicherlich noch andere Aufgaben zur Übung finden.

Answer 1

Kern von

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berechnen, die 3. Gleichung ist überflüssig (lin. abh::x + 2y + 3z = 0      (I)
4x + 5y + 6z = 0    (II)
(II) - (I)
x + y + z = 0
Sei z = 1
x + 2y + 3 =0
x + y + 1 = 0
----------------- (-)
y + 2 = 0 → y = -2
in (II)' x -2 + 1 = 0  ------> x = 1
(1,-2,3) ist ein Element des Kerns K = {t(1,-2,1) | t Element R}
Anmerkung : Vektoren fett.

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Jetzt nimmt mir die Formatierung die einfachen Zeilenumbrüche auch in den Antworten raus.

Habe soeben doppelte gesetzt, damit die einfachen bleiben. Vielleicht musst du neu laden.

Answer 2

Weißt das was man mit Kern bezeichnet

--> https://de.wikipedia.org/wiki/Kern_(Mathematik)

Wenn du also eine Matrix M hast ermittelst du den Kern über die Gleichung

M * x = 0

Das solltest du bei deiner Matrix eigentlich mit dem Gauss selber hinbekommen oder nicht?

Du solltest auf die Lösung [z, - 2·z, z]^T kommen.

Answer 3

(A) =  I  123  456  789 I    = 0

Ansatz ( 123   456  789 ) *  ( v1  v2  v3 )  =  (  0  0   0 )

v1 +2v2+3v3 = 0

- 3v2 - 6v3 = 0

0=0

v3 --->  1  ---->  -3v2 * 6*1 = -2

v1+2*(-2)+3*1 = 0

v1 = 1

Kern ------>  ( 1    -2    1  )  , Kern sind alle Vielfachen des Vektors !

Comments

Soll das heißen, wenn ich für v₃ etwas anderes als 1 einsetze, ist das auch ein Kern? Aber dann wären das ja unendlich viele Kerne, oder?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Kern_(Mathematik) Der Kern ist ein Untervektorraum des R^3.  Hier ein eindimensionaler Untervektorraum und hat daher unendlich viele Elemente.

Answer 4

Hi, vielleicht hast Du die von dir angedeutete Aussage von der Seite

"Den Kern einer Matrix bestimmen/ausrechnen/ablesen - ein Beispiel".

Die dortigen Aussagen sind tatsächlich sehr oberflächlich bis falsch formuliert.
Das fängt schon bei dem auch von Dir benutzten Begriff "Kern einer Matrix" an.

Immerhin könnte man die dortige Aussage

"Eine lineare Abbildung besitzt einen nichttrivialen Kern, genau dann wenn sie nicht injektiv ist. Deswegen hat eine bijektive Abbildung keinen Kern (det !=0)."

ein wenig retten (Satzstellung berichtigt und roten Text eingefügt):

"Eine lineare Abbildung besitzt genau dann einen nichttrivialen Kern, wenn sie nicht injektiv ist. Deswegen hat eine bijektive Abbildung keinen nichttrivialen Kern und ihre darstellende Matrix eine von null verschiedene Determinante."

Comments

Die Seite war es zwar nicht, aber es scheint wohl mehr schlechte Seiten im Internet zu geben. Danke für die Berichtigung. Ich wusste vorher einfach nicht, wie ich es besser ausdrücken soll. Nächstes mal schaue ich gleich bei Wikipedia. Da scheinen die Aussagen besser und vor allen Dingen richtig formuliert zu sein.

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Na ja, die von mir angeführte Seite ist als einziger Link auf der entsprechenden Wikipedia-Seite angeführt...

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Ich habe auch einfach im Internet gesucht und nicht den Link bei Wikipedia benutzt. Jetzt hat sich das ganze ja geklärt.