Grenzwerte mit der Regel von l'Hospital bestimmen?

Question

Hallo im rahmen der Klausurvorbereitung für Analysis für Informatiker bin ich auf folgende Klausuraufgabe gestoßen.

Das man bei L'hospital die Funktion nur ableiten muss ( sofern 0/0 oder unendlich/unendlich) ist mir klar, jedoch kann ich die angegebene Lösung dazu nicht nachvollziehen.

Aufgabe :

lim x->0  (log(1+6x²))  / (sin²(x))

rauskommen soll 6

Über eine ggf. ausfürliche Erklärung der einzelnen Lösungsschritte würde ich mich freuen.

Mfg

Answer 1

Hi,

Du kannst direkt l'Hospital anwenden.

Du kommst auf:

$$\lim \frac{\frac{12x}{6x^2+1}}{2\sin(x)\cos(x)} = \lim \frac{6x}{(6x^2+1)\sin(x)\cos(x)}$$

Du wirst feststellen, dass erneut der l'Hospital anzuwenden ist (Produktregel beachten):

$$\lim \frac{6}{12x\cos(x)\sin(x) + (1+6x^2)(\cos^2(x)-\sin^2(x)}$$

Im Limes betrachtet fällt sofort der erste Summand im Nenner weg. Für den zweiten Summanden bleibt übrig: \(1\cdot\cos^2(0)=1\)

Insgesamt also: \(\frac61=6\)

Du konntest folgen? Die Ableitung habe ich nicht kleinschrittig dargestellt, das solltest Du aber gut selbst hinbekommen, nicht?

Grüße

Comments

Danke für die superschnelle antwort.

Also im 1 Schritt hast du ja die 1 Ableitung gebildet,
und als du die Regel nochmal angewendet hast, hast du da einfach die 2 Ableitung gebildet?

Und wie kommt man von der 2 Ableitung dan auf 1 x cos² (1) = 1 , diese  vereinfachung/schritt hab ich nicht ganz verstanden.

Mfg :

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Ich würde den Begriff "nochmal" ableiten vorziehen.

Und wenn ich nochmals (das zweite Mal) abgeleitet hatte, so kann ich die Grenzen einsetzen. Da kürzt sich im Nenner alles zusammen. Vielleicht hat Dich mein Fehler mit cos^2(1) verwirrt. Es muss natürlich cos^2(0) heißen ;).