Stammfunktion zu f(x) = (1/12·x^4 + 13/36·x^2 + 1/3) / (1/4·x^2 + 1/3)

Question

Also gegeben ist die Funktion:

$$ f ( x ) = \frac { \frac { 1 } { 12 } x ^ { 4 } + \frac { 13 } { 36 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } } { \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } } $$

Dann habe ich folgende Schritte gemacht, um die Stammfunktion zu bestimmen:

$$ f ( x ) = \frac { 1 } { 12 } x ^ { 4 } + \frac { 13 } { 36 } x ^ { 2 } + \frac { \frac { 1 } { 3 } } { \frac { 1 } { 3 } } + 4 x ^ { - 2 } $$

$$ F ( x ) = \frac { 1 } { 12 * 5 } x ^ { 4 + 1 } + \frac { 13 } { 36 * 3 } x ^ { 2 + 1 } + 1 x ^ { 1 } + 4 * ( - 1 ) x ^ { - 2 + 1 } $$

$$ F ( x ) = \frac { 1 } { 60 } x ^ { 5 } + \frac { 13 } { 108 } x ^ { 3 } + x - 4 x ^ { - 1 } $$

Ist das so richtig oder habe ich irgendwo ein Gedankenfehler? Ich bin mir nicht sicher, ob ich den negativen Exponenten und die 1/4 richtig umgeformt habe.

Answer 1

f(x) = (1/12·x^4 + 13/36·x^2 + 1/3) / (1/4·x^2 + 1/3)

Zähler und Nenner mit 36 erweitern

f(x) = (3·x^4 + 13·x^2 + 12) / (9·x^2 + 12)

Jetzt eine Polynomdivision machen

(3x^4  + 13x^2  + 12) : (9x^2 + 12)  =  1/3x^2 + 1   
3x^4  +  4x^2       
———————————————————         
9x^2  + 12         
9x^2  + 12         
——————————                   
0

Oh prima. Das geht zufällig auf. Wir können f(x) daher auch unter Behebung der Definitionslücken schreiben als:

f(x) = (1/12·x^4 + 13/36·x^2 + 1/3) / (1/4·x^2 + 1/3) = 1/3·x^2 + 1

Hier können wir jetzt problemlos eine Stammfunktion bilden

F(x) = 1/9·x^3 + x + c

Comments

Und warum war die erste Umformung falsch?

Trotzdem danke für deine Hilfe ^^

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Es hätte wenn dann lauten sollen

(1/12·x⁴ + 13/36·x² + 1/3) / (1/4·x² + 1/3)

= (1/12·x⁴ + 13/36·x² + 1/3) * (1/4·x² + 1/3)^-1

Da jetzt aber das letzte ein Faktor eines Summanden ist darf man da eh nicht beigehen und jeden Summanden hoch -1 nehmen. Außerdem betrifft der Summant weiterhin auch den ersten Term die 1/2 x^4. Auch hier dürfen wir nicht einfach irgendwelche Klammern weglassen.

Denk daran. Bei einem Bruch sind automatisch Zähler und Nenner zu klammern.

D.h.

(a + b) / (c + d) = (a + b) * (c + d)^-1

Aber wie gesagt kann man hier nicht vereinfachen. Deswegen wird es so gerechnet wie ich es erläutert habe. Mit einer Polynomdivision.

Answer 2

Nein. Du hast schon bei der erstem Umformung einen Fehler.

Bring besser als Erstes oben und unten die Nenner weg. (Multiplikation mit 36 oben und unten)

Vielleicht erkennst du dann Binome, kannst faktorisieren und was rauskürzen.

Comments

Fortsetzung gemäss oben skizziertem Vorgehen:

3x^4 + 13 x^2 + 12
--------------------------     =
9x^2 + 12

3x^4 + 13 x^2 + 12
--------------------------     =
3(3x^2 + 4)

(3x^2 + 4)( ????????)
--------------------------              Was passt?
3(3x^2 + 4)

(3x^2 + 4)(x^2 + 3)
--------------------------    =
3(3x^2 + 4)

kürzen

(x^2 + 3)
--------------------------    =
3

 

x^2           3
----     + -------    =    1/3 x^2 + 1

3              3

Integrieren

F(x) = 1/3 * 1/3 x^3 + x + C 

= 1/9 x^3 + x + C