Reihe mit Majorantenkriterium: ∑(von n=1 bis ∞) ((1+n^2)/(1+n^3))^2

Question

Habe folgende Aufgabe gefunden:

∑(von n=1 bis ∞) ((1+n^2)/(1+n^3))^2

Die Reihe soll auf Konvergenz überprüft werden. Diese Aufgabe soll mit dem Majorantenkriterium gelöst werden, nur verstehe ich leider nicht wie. Wäre super, wenn mir das jemand zeigen könnte.

Answer 1

Ich lasse die Betragstriche mal weg, da alle Summanden > 0.

((1+n²)/(1+n³))²

= ((1/n^2 + 1)/(1/n^2 + n))^2       |sobald n>1, 

                                                    | Zähler vergrössern und Nenner verkleinern

< (2 / (n))^2

= 4/n^2 = 4*1/n^2 

Nun die fragliche Reihe:

∑(von n=1 bis ∞) ((1+n²)/(1+n³))²  < 

4* ∑(von n=1 bis ∞) 1/n^2 

Diese Summe ist bekannt als konvergent.

Comments

Erst mal danke für deine Antwort! Deinen Lösungsweg konnte ich ohne Probleme nachvollziehen.

Im Internet habe ich aber noch einen anderen Lösungsweg zu der Aufgabe gesehen. Vielleicht kannst du mir den erklären. Da steht leider nicht dabei, wie man darauf gekommen ist. Der Weg ist folgender:

0≤((1+n^2)/(1+n^3))^2 ≤ ((n^2+n^2)/(1+n^3))^2 ≤ ((n^2+n^2)/(n^3))^2 = 2^2 * (n^2/n^3)^2 = 4*(n^4/n^6) = 4*1/n^2

Ab dem ersten Gleichheitszeichen kann ich das nachvollziehen, aber davor verstehe ich das leider gar nicht. Vielleicht kannst du mir ja sagen, was da gemacht wurde. Im Moment sehe ich das leider noch nicht.

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0                                  |Quadratzahlen sind nie kleiner als 0

≤((1+n²)/(1+n³))²        |Zähler vergrössern

≤ ((n²+n²)/(1+n³))²       | Nenner verkleinern

≤ ((n²+n²)/(n³))² = 2² * (n²/n³)² = 4*(n⁴/n⁶) = 4*1/n²

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Jetzt kann ich das auch nachvollziehen.