Ableiten und Integrieren von Logarithmusfunktionen:

Question

Grüße euch :-)

Ich übe gerade Logarithmusfunktionen zu integrieren oder abzuleiten. Stimmen meine zwei gelösten Aufgaben?

a) f(x)= 2x + ln(2x) ist abgeleitet f'(x)= 2 + 2/(2x).
Ansatz: u(x)= 2x ---> u'(x)= 2 ; v(x)= ln(2x) ---> v'(x)= 2/(2x).

Die Ableitung von ln(2x) habe ich mit der Formel: a * 1/(g(x)) * g'(x) ermittelt.
Daraus folgt: f'(x)= 2 + 2/(2x).


b) f(x)= x / (ln(x)) ist integriert F(x)= ln(I ln(x) l).
Ansatz: u(x): ln(x) ---> u'(x): 1/x

Mit der Formel: u'(x)/u(x) ergibt sich (1/x) / ln(x). Der Zähler wird integriert und wir erhalten: 1/(ln(x)).
Daraus folgt: F(x)= ln(l ln(x) l).


Ich verwende verstehe zwar die Formeln, jedoch kann ich die Schritte nicht richtig nachvollziehen. Wieso bildet man den Kehrwert? Wäre zudem echt super wenn mir jemand erklären könnte (in einzelnen Schritten) wie man integriert mittels der Substitution (habe hier ebenfalls ein paar Schwachstellen).

, Florean :-)

Answer 1

Hi Florean,

der erste Teil ist richtig. Ein Tipp, wie es vielleicht einen Tick einfacher geht, wenn man  mit den Logarithmengesetzen vertraut ist ;).

ln(2x) = ln(2) + ln(x)

Dann vereinfacht sich f(x), da ln(2) ja konstant ist.

b)

Sry, das kann ich gar nicht integrieren. Da hast Du eine falsche Aufgabe?

ln(ln(x)) ist auch abgeleitet nicht f(x), sondern 1/(x*ln(x)) ;).

Grüße

Comments

Sers Unknown :-)

Yes, ableiten "funktioniert" schonmal. Dann übe ich heute mal noch fleißig die Logarithmengesetze.

Ich sehe gerade, dass man Aufgabe b) nur ableiten soll. Ich habe gedacht, man kann die Funktion bestimmt auch integrieren. Kannst du mir ein Beispiel zum integrieren vorzeigen (mit Substitution)? Wäre super wenn du mir die Schritte erklären könntest.

Gruß

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Hier habe ich eine kleine. Ich hoffe trigonometrische Funktionen sind bekannt ;).

Es sei: ∫ sin(2x+4) dx

Subst: u = 2x+4  du = 2dx -> dx = du/2

-> 1/2∫sin(u) du = -cos(u)/2+c = -1/2cos(2x+4)+c

Deine Aufgabe ist es als erstes eine sinnvolle Subst. zu erkennen. Hier einfach das Argument. Dieses als u bezeichnen. Beim Integral (ursprünglich) hast Du ja ein dx stehen. Da Du nun nach u integrierst, muss das ersetzt werden. Deshalb das u = 2x+4 auf beiden Seiten ableiten (Linke Seite nach u, rechte Seite nach x). Es steht dann du = 2dx da. Das forme nach dx um, um es zu ersetzen. Bei mir in rot dargestellt. Dann normal integrieren und resubstituieren.

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Ich scheine es verstanden zu haben, zur Probe:

Trigonometrische:
Es gilt: f(x)= cos(3x + 7)
1) ∫ cos(3x+7) dx
2) u = 3x + 7.
3) du = 3dx also folgt: du/3
4) 1/3 ∫ sin(u) du
5) 1/3sin(3x +7) + c

Logarithmusfunktion:
Es gilt: x³ / (x⁴ + 1)
1) ∫ x³ / (x⁴ + 1) dx
2) u = (x⁴ + 1)
3) du = dx⁴ als folgt: ⁴√du
4) ⁴√ ∫ 1/4x⁴/u du
5) 1/4 / (x⁴ + 1)
Und schließlich: 1/4ln(x⁴ + 1)

Meine einzigste Frage: Wie kommt man von 1/4 / (x⁴ + 1) auf 1/4ln(x⁴ + 1)? Normalerweise wäre es doch 1/4(x⁴+1)^-1?

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Die erste Aufgabe hast Du gut und richtig gelöst. Bei der zweiten hingegen muss ich Dir Respekt zollen. Auf falschem Wege zum richtigen Ziel :P. Oder war das eine Lösung woher?

Denn eigentlich ist in der Tat 1/4 * 1/(x^4+1) = 1/4 * (x^4+1)^{-1}

So wäre es richtig:

Logarithmusfunktion:
Es gilt: x³ / (x⁴ + 1)
1) ∫ x³ / (x⁴ + 1) dx
2) u = (x⁴ + 1)
3) du = 4x^{3}dx als folgt: dx = 1/(4x^3)du

Der Fehler lag bei der Ableitung.

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Falscher Weg, richtige Lösung. Awesome :-D Habe keine Lösung, nur die Aufgabe :-)

Stimmt. Danke dir :-)