Fragen zum Ableiten von Logarithmusfunktionen

Question

Das Ableiten von Exponentialfunktionen habe ich mittlerweile ganz gut drauf. Hier gibt es ja eigentlich nur zwei Sachen zu berücksichtigen. Nämlich die Ableitung von e^x = e^x 

und falls im Exponenten noch andere Terme auftauchen wie f(x)=e^3x-4+2 ist die Ableitung = e^3x-4+2 *  die Ableitung von 3x-4+2.

Soweit so gut.

Nun bin ich bei Logarithmusfunktionen und deren Ableitungen. Allgemein ist ja erstmal wichtig, dass die Ableitung von ln(x) = 1/x ist. Darüber hinaus sind Funktionen wie ln(x-2) mit der Kettenregel abzuleiten, wobei ln (x) die äußere Funktion und (x-2) die innere Funktion darstellt. Jetzt habe ich ein paar kleinere Fragen hierzu. 

1.) Gegeben sei ln (2x). Muss ich hier auch mit der Kettenregel ableiten oder ist die Ableitung = 1/2x? Anders: Gilt 1/x wirklich nur, wenn das x alleine in der Klammer vom ln(x) steht und kein anderer Ausdruck sich darin befindet? 

2.) Wenn ich 2ln(x-3) ableite ist die 2 (nach den Ableitungsregeln) "nicht zu beachten", sondern wird als multiplikativer Term einfach wieder an die Ableitung gehängt, richtig? 

3.) Habe ich bspw. 2ln(x) ist die ableitung also 2/x?

Soviel erstmal von meiner Seite :)

Answer 1

Zu 1)

Du musst eigentlich immer mit der Kettenregel ableiten, allerdings ist die innere Ableitung manchmal gleich 1 und fällt dann nicht weiter auf ...

Beispiel:

Eigentlich ist ln ( x ) = ln ( 1 * x ) und das ist nach Kettenregel abgeleitet:

( ln ( 1 * x ) ) ' = (innere * äußere) = 1 * 1 / x = 1 / x

Da die innere Ableitung gleich 1 ist, fällt sie nicht weiter auf. Steht aber statt der 1 eine 2 vor dem x, dann fällt die innere Ableitung auf, denn dann ist sie nicht mehr gleich 1:

( ln ( 2 * x ) ) ' = (innere * äußere) = 2 * 1 / ( 2 x ) = 2 / ( 2 x ) = 1 / x

 

zu 2)

Wenn ich 2ln(x-3) ableite ist die 2 (nach den Ableitungsregeln) "nicht zu beachten",

"Nicht zu beachten" finde ich unglücklich formuliert (zum Glück hast du es in Häkchen gesetzt).

Richtig ist:

2 ln ( x - 3 )

ist zunächst nach Produktregel abzuleiten:

( 2 ln ( x - 3 ) ) ' = 2 ' * ln ( x - 3 )  + 2 * ( ln ( x - 3 ) ) '

= 0 + 2 * ( ln ( x - 3 ) ) '

Nun ist noch ln ( x - 3 ) nach Kettenregel abzuleiten:

= 2 * 1 * 1 / ( x - 3 )

= 2 / ( x - 3 )

 

zu 3)

Richtig!

Comments

Okay, ich dachte bei der zweiten Frage wäre es so: Af(x) -> Af'(x). Also muss ich beim ln dann erst nach Produktregel ableiten und kann es nicht so schreiben. In Ordnung, vielen Dank, ihr habt mir sehr geholfen :)

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Sofern A eine Konstante ist, kannst du durchaus schreiben:

( A * f ( x ) ) ' = A * f ' ( x )

Mit meinen Ausführungen wollte ich lediglich darauf hinweisen, wie sich diese "Regel" herleiten lässt.

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A ist in dem Fall eine Konstante. Also ist meine anfängliche Annahme korrekt, war nur etwas ungünstig formuliert :)

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Also ist meine anfängliche Annahme korrekt

ja, nur die Begründung ("nicht zu beachten") hat mir nicht gefallen. Ich wollte daher einfach nur zeigen, warum das so ist.

Tut mir Leid, falls ich dich ein wenig erwirrt haben sollte ...

Answer 2

die Ableitung eines ln ( ) ist immer die gleiche

[ ln ( term ) ] ´ = ( term ´ ) / term

Zähler = term ´
Nenner = term

[ ln (2x) ] ´ = ( 2x ) ´ / ( 2x ) = 2 / ( 2x ) = 1 / x

[ 2 * ln ( x - 3 ) ] ´ =
2 * [ ln ( x - 3 ) ] ´ = 2 * ( x - 3 )´ / ( x - 3 ) = 2 / ( x - 3 )

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg