Stammfunktion von sin(√x) und für f(x)= x^2 - 2x +3 Minimum und Maximum in (0,5) bestimmen

Question

Was ist die Stammfunktion von sin(wurzel aus x) ?

 

Sei I=(0,5). Wir definieren f:I-->R durch

f(x)= x^2 - 2x +3

Bestimmen Sie min(f(x)| x aus I) und max(f(x)|x aus I)

Bestimmen Sie f(I)

Answer 1

∫ sin(√x) dx = 2 * sin(√x) - 2 * √x * cos(√x) + c

Eine genaue Herleitung findest Du auf der Seite von Wolframalpha in der Schritt für Schritt-Lösung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sin%28sqrt%28x%29%29

 

f(x)= x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2

Scheitelpunkt ist also bei S(1|2) der nach oben geöffneten Parabel

Damit ist das minimum 2 fas maximum muss an den grenzen sein

f(0) = 3
f(5) = 25 - 10 + 3 = 18

Das maximum ist also 18.
 

Was genau mit f(I) gemeint ist weiß ich hier allerdings nicht. Vielleicht kann da jemand weiter helfen.

Comments

Das dürfte der Bildbereich von I sein. Also nach deiner Rechnung das folgende Intervall:

f(I) = [2,18)

18 wird nicht angenommen, deshalb rechts offenes Intervall.

https://de.wikipedia.org/wiki/Supremum . Da 18 als Funktionswert nicht angenommen wird, ist es nur Supremum, nicht Maximum.

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Hier noch die Lösung von Wolframalpha, falls die Seite mal down ist

Take the integral:

integral sin(sqrt(x)) dx

For the integrand sin(sqrt(x)), substitute u = sqrt(x) and du = 1/(2 sqrt(x)) dx:

= 2 integral u sin(u) du

For the integrand u sin(u), integrate by parts, integral f dg = f g- integral g df, where f = u, dg = sin(u) du, df = du, g = -cos(u):

= 2 integral cos(u) du-2 u cos(u)

The integral of cos(u) is sin(u):

= 2 sin(u)-2 u cos(u)+constant

Substitute back for u = sqrt(x):

Answer:

= 2 sin(sqrt(x))-2 sqrt(x) cos(sqrt(x))+constant