Sind die Grenzwerte korrekt berechnet?

Question

So, mein letzter Beitrag für heute :-)

a) an= (2ⁿ - 1) / (2ⁿ) -> Grenzwert ist 1.
b) an= (n⁵ - n⁴) / (6n⁵ - 1) -> Grenzwert ist 1/6.

Angenommen wir nehmen haben Term welcher immer größer wird und nicht gegen 0 geht (also n nicht null wird), schreibt man dann ∞?

Grüßle und gute Nacht schonmal :-)

Comments

*korrekt berechnet.

---

Hi florean 

Ich bin schon im Bett. Du kannst das auch mit Wolframalpha überprüfen falls keinet Antwortet :) 

Dir auch eine Gute Nacht^^

Answer 1

Hi Florean,

Deine Berechnungen für a) und b) scheinen richtig.

Für Deine Zusatzfrage nehmen wir mal das Beispiel 5n^2/n, welches wir im Grenzwert für n->∞ anschauen. Da kürzt sich das ja zu 5n zusammen und in der Tat schreibt man dann, dass der Grenzwert hier gegen ∞ geht. Man sagt dann auch "divergent" dazu.

Grüße

Comments

Hallo Unknown,
  nicht jede Funktion bei der n gegen ∞ geht
geht auch f ( n ) gegen ∞ . Falls ich die Frage von
Florean richtig verstanden habe.
mfg Georg

---

Und was bitte hat das mit meiner Antwort zu tun? Hatte nichts dergleichen behauptet. Zudem dürfte das Florean gerade nicht gefragt haben, da die obigen Funktion ja alle nicht gegen ∞ gehen ;).

---

hallo unknown,

  die Frage von Florean ist mathematisch nicht eindeutig formuliert.
Ich kann den Sinn nur vermuten.

  Meine Vermutung : Florean fragt lim n -> ∞ [ f ( n ) ]
f ( n ) wird immer größer geht aber nicht gegen 0.
Geht der Funktionswert dann immer gegen ∞ ?

Darauf meine Antwort : Nein.
Deine Antwort : 1 Beispiel einer Funktion bei dem der
Grenzwert gegen ∞ geht.

Ich wollte nur darauf hinweisen das ich meine Antwort
für die komplettere halte, sofern ich die Frage von
Florean richtig gedeutet habe.

  Überlassen wir Florean einen weiteren Kommentar
oder eine Nachfrage.

  mfg Georg

---

Dass Du die Deinige für "kompletter" hältst, ist mir nicht entgangen.

Mein Einwand der Sinnlosigkeit der Fragestellung, wie Du sie interpretierst, besteht aber weiterhin (was natürlich nicht bestreitet, dass Deine Interpretation korrekt ist ;)).

Vielmehr vermute ich, dass er auf die einzelnen Summanden anspielt. Insbesondere bei unserem Beispiel die jeweils letzteren wie 1/2^n und seine Frage, wie man das ausdrücken würde, wenn es stattdessen beispielsweise 2^n/1 wäre. Und da greift meine Antwort, dass (im alleinigen Falle von 2^n/1 = 2^n) das als divergent beschrieben werden würde. Wenn das nur ein Teilaspekt wäre (also nur ein Summand/Faktor), würde man da natürlich eventuell anders rangehen.

Diese meine Interpretation empfinde ich als die logischere. Aber wie Du schon sagst -> Florean kann aufklären was gemeint ist...und so oder so -> er profitiert von beiden Antworten, egal wie es gemeint war^^.

---

euch beiden :-)

Sorry das die Frage etwas unpräzise gestellt war. Danke ersteinmal für die zahlreichen Antworten :-)
Meine zweite Frage hat sich mit der Antwort von Unknown geklärt.

Was micht noch verwirrt ist folgendes:
Wir nehmen an 4n² geht gegen unendlich und 17 ist eine konstante Zahl die 4n² dividiert.
Also: 4n² / 17. Wenn wir jetzt den Grenzwert berechnen wollen, haben wir doch ein Problem.
Denn ∞ / 17 ist doch nicht möglich?

Prinzipiell kann man beim Grenzwert berechnen also festhalten: Der Term welcher eine Konstante wie n (x,d,s usw.) besitzt, fällt weg. (?)

Grüßle, Florean :-)

---

Mahlzeit :).

Was ist denn der 17te Teil von Unendlich? Richtig...weiterhin unendlich. Damit stellt das kein Problem dar. Das Unendlich mag zwar "kleiner" sein, das tut dem Ganzen aber keinen Abbruch. Im Falle 4n^2/17 wirst Du also zu divergent tendieren.

Prinzipiell kann man beim Grenzwert berechnen also festhalten: Der Term welcher eine Konstante wie n (x,d,s usw.) besitzt, fällt weg. (?) 

Den Teil verstehe ich nicht ganz. Erstens ist n bzw. x gar nicht konstant (wir lassen es ja gegen unendlich streben (oder woanders) und zudem siehst Du an Deinen Beispielen oben, dass bei Brüchen mit Polynomen die höchste Potenz einfach der Koeffizient erhalten bleibt, während die niederen Gliedern zu 0 wegfallen. Also allgemein von "wegfallen" zu sprechen ist nicht ;). Ok?

---

Alles klar. Danke dir Unknown :-)

Answer 2

" a) an= (2ⁿ - 1) / (2ⁿ) -> Grenzwert ist 1.  "
a ( n ) = 2ⁿ / 2ⁿ - 1 / 2ⁿ  |  lim n -> ∞ von 1 / 2ⁿ  = 1 / ∞ = 0
lim n -> ∞  = 1

" b) an= (n⁵ - n⁴) / (6n⁵ - 1) -> Grenzwert ist 1/6.  "
die -1 im Nenner spielt bei lim n -> ∞ keine Rolle mehr
lim n -> ∞ a ( n ) = n⁵ / ( 6 *n⁵ )  - n⁴ / ( 6 * n⁵  )
lim n -> ∞ 1/6 - 0 = 1/6

" Angenommen wir nehmen haben Term welcher immer größer wird
und nicht gegen 0 geht (also a ( n ) nicht null wird), schreibt man dann ∞ ? "

Nein.  In deinem 1.Beispiel wird der Wert für den Term immer
größer wird aber nicht ∞ sondern 1.Ich hoffe deine Frage war so zu
verstehen.

mfg Georg